- - (Р-)-Р) В е(х) = 9(0). + *L

может быть использована для определения зависимости Ь {х, t) ъ точке, соответствующей, например, концу теплообменника х = I, так что на АВМ должна быть реализована передаточная функция вида

Применение метода Монте-Карло для решения дифференциальных уравнений в частных производных на АВМ впервые было рассмотрено иа примере задачи Дирихле £13] для уравнения вида

ЪхЩ У границе С,

где Лi и Лг - постоянные; Bf и - произвольные функции независимых переменных; граница С представляет собой произвольную замкнутую кривую.

Вычислительный процесс использует специально организованное случайное блуждание точки внутри области, которое начинается в исследуемой точке поля. Это блуждание заканчивается за конечный промежуток времени в точке границы С. Значение функции в этой точке фиксируется, и процесс повторяется. Если число блужданий достаточно велико, то математическое ожидание зарегистрированных значений на границе сходится к значению искомой функции и в рассматриваемой точке области.

Для реализации блуждания используются две электрические цепи, реакции которых на белый шум описываются следующими уравнениями!

. g + Bix = fi(0:

где Fi{f) и f 2(0 - гауссовы белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой взаимной корреляционной функцией, с дисперсиями, равными соответственно Af и А.

Рассмотрим в качестве примера уравнение Лапласа. В этом случае вторые члены в уравнениях, задающих движение, исчезают, т. е. для задания траектории блуждания достаточно использовать лишь интегрирующие усилители.

В схеме реализации метода используются два генератора случайных функций, выходные напряжения которых поступают на интегрирующие усилители. Выходные напряжения усилителей поступают на входы электроннолучевого индикатора, экран которого закрыт маской с границами, соответствующими границам данной области. Значения потенциала на границе С заданы и равны ui{x, у). Перед началом процесса блуждания на интегрирующих усилителях задаются начальные значения переменных х и у (координаты точки, в которой ищется решение). При подходе изображающей точки к границе области интегрирование выключается н по значениям координат точки границы {Xi, yi), к которой подошел луч индикатора, определяется значение функ-

На втором этапе для выбранного значения х = х подбирается выражение, аппроксимирующее зависимость в (р). Полученная в результате аналитического решения (5.48) зависимость

ции UQ(xi, у{). Описанный процесс повторяется многократно. Значение Уо) определяется по формуле

N 1=1

где N - количество реализаций случайного процесса.

Метод Монте-Карло может быть использован и для решения нестационарных задач. При этом длительность блуждания должна быть ограничена моментом времени, для которого требуется определить значение неизвестной функции.

6. Методы решения систем конечных уравнений

В инженерной практике и в научно-исследовательской работе часто приходится исследовать установившиеся процессы, задача изучения которых сводится к необходимости решения системы п конечных уравнений для п переменных вида

fi(xi, ...,х = 0. / = 1. , .я. (5.49)

Частным случаем является система линейных алгебраических уравнений

2 ах - Ь. = 0, i=l.....п. (5.50)

К настоящему времени предложено и осуществлено в различных вариантах шесть основных методов решения систем конечных уравнений: метод непосредственного электрического моделирования заданной системы, метод сведения заданной системы конечных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, метод сканирования (обзора), итерационный метод Гаусса - Зейделя, метод г)., с 1С минимизации и градиентные методы,

вне;ия Д-П одаРО УР- Метод непосредственного модели-

ия \o.oi). рования заданной системы уравнений

предусматривает построение схем, работа которых описывается той же системой конечных уравнений, что и подлежащая решению. Схемы этого типа обычно содержат иуль-оргаиы, на выходах которых образуются напряжения, соответствующие значениям искомых переменных.

Допустим, что необходимо иайти корень трансцеидеитного уравнения вида

sinju -Хл; = 0. (5.51)

Схема электрического моделирования этого уравнения показана на рис. 5.16. Работа схемы описывается выражением (с точностью до масштабов и знаков)

(sin X - Кх) К = X,

где /С - коэффициент усиления суммирующего усилителя, работающего в Качестве нуль-органа. При достаточно большом коэффициенте К работа схемы описывается уравнением (5.51).

W W V7

1-У/-

Рассмотрим применение метода непосредственного моделирования к решению систем линейных алгебраических уравнений вида (5.50).

Решая эту систему итерационным методом, получим на некотором шаге

2 £fe4 + *£ = i-

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы с изменением переменных л;, все стремилцсь к нулю. Это условие может быть реализовано с помощью схем с усилителями, имеющими большой коэффициент усиления (рис. 5.17).

Схема представляет собой матрицу потенциометров aj, соответствующую-матрице коэффициентов заданной системы уравнений, и столбец потенциометров, реализующих свободные члены уравнений 6,-,

Потенциометры питаются от выходов усилителей У1, ...

yi, Уп с большим

коэффициентом усиления. Для задания коэффициентов обоих знаков служат усилители перемены знака УГ, УЧ,..., Уп. Столбец потенциометров свободных членов питается от источника постоянного напряжения Ец.

Напряжения, снимаемые с потенциометров, расположенных в одной строке, суммируются с помощью резисторов ?,соединенных в звезду в точках Si.

Обозначим напряжение на входе k-TO усилителя через е,

а на выходе через и. Применяя закон Кирхгофа к точке S, получаем

Рнс. 5.17. Схема моделирования

системы (5.50).

2 tt fe + *i0=Cn+ 1)6;.

Так как = - Ке£, то

(5.52)

Коэффициент усиления К можно сделать настолько большим, чтобы членами вида Щ ьюжно было пренебречь.