Принимаем Vi {i) = + (Cj + а + at) е~. Поскольку Vi (р) = 1 при = О, то ао == Ухта V (0 = 1- Выбрав вначале X = 1, получим

rinlai + a-i-ia + ast-

ехр (-0

Строим таблицу для девяти точек интерполяции

Из (5.83) и (5.84) определяем значения

Со = 8; Ci = 9,28; = 26,12; Cg = 100; Q = 427,9; fo = -3.418; ft = -0.875; f =-0.660.

Vi*(x) =

8,00 9,28 26,12 9,28 26,12 100,0 . 26,12 100.0 427,90

используя которые, строим и раскрываем полином

0,000 1,000 t 3,418 8,000 9,280 26,120 0,875 9,280 26,120 100,00 0,660 26,120 10,0,00 427,90

= -1 + 1.15 -0,35Л

Таким образом получено = -1; 1,15; Яд = -0,35. Для уточнения

значения коэффициента затухания строим систему:

при = 0,1 : 0,408 = 1 + (-1 + 0,115 - 0,0035) e - ; при == 0,5 : 0.806 = 1 + (-1 + 0.575 - 0.0875) е--\ при g = 1.0 : 0.940 = 1 + (-1 + 1,15 - 0,35) е-,

откуда определяем X, = 4,5; Xg = 1,95; Хз= 1.20 и подсчитываем Хр = 2.55. Окончательно принимаем X = 2,5. Из (5.79) определяем

/If = 1,236; 2 = -0.348; Ag = 0.112

и получаем аппроксимирующую передаточную функцию

1.236 0.348 , 0,112

V(P) =

0,4р + 1 (0,4р + 1)2 (0,4р + If

по которой нетрудно найти параметры схемы рис. 5.26, б.

Метод мнимых частот. Для подготовки моделируемых выражений непосредственно по виду передаточных функций W(p) используется переход в область мнимых частот, принцип которого основан на понятии характеристики мнимых частот, которая представляет собой функцию Щб), полученную в результате замены в {р) комплексного аргумента р вещественной переменной О.

Из единственности аналитического продолжения функции W (В) на всю правую полуплоскость, включая линию р = й -Ь /ш (й = const; -00 < ш < оо), вытекает свойство характеристики W (В), заданной во всех точках любого

сколь угодно малого отрезка положительной полуоси В (вне особых точек), однозначно определять оригинал V{t) = W{j}) при 0<f < со. Это свойство позволяет перейти от аппроксимации W {р) как функции комплексной переменной к аппроксимации If (В) как функции действительной переменной. Отсюда вытекает способ аппроксимации в области мнимых частот, приводящий к использованию модели, состоящей из инерционных звеньев (рис. 5.26, а).

Вводя замену , X = const, отображающую полуось О < В < со

о А

на отрезок 0<<<1, получаем

Г (В) = (у - xj = Г (t). . (5.87)

Согласно интерполяционной формуле Лагранжа,

T{t)%f (О = T + (f-to) aJ +{t-1 ) (t~ti)Al+...

... + (t-to){t-tt) ...(t-tnt) (5.88)

где aJ, . .. , д - разделенные разности первого порядка. Раскрывая скобки в (5.88), получаем

f(f)=Yihit\ (5.89)

или с учетом (5.87)

Вследствие аналитичности данного многочлена на всей плоскости, за исключением точки В = -X, функция W (В) может быть аналитически продолжена для комплексных значений аргумента:

iP) = I,ht[-. (5.91)

Коэффициент затухания X выбираем из условия совпадения исходной А (ш) и аппроксимирующей А (to, Х) амплитудно-частотных характеристик, соответствующих W (р), в т дискретных точках Шу, что приводит к системе уравнений

А (а.) = А (ш., Х.), / = 1, 2. ... ,т (5.92)

относительно Ху. После вычисления этих значений в качестве расчетного принимается среднее из них, т. е. амплитудно-частотные характеристики приближаются в диапазоне О < ш < шр, где ш,р - граничная частота.

Пример 5. Для передаточной функции W (р) =-характеристика

1 +У р

мнимых частот имеет вид W (б) =-ц=. Полагая вначале X = 1, имеем

1 -j-j/B

= а -jl t Составляем таблицу

Находим разделенные разности согласно табл. 5.4. Определяем слагаемые выражения (5.88):

(t-to)(t~ti)(x-t) = t~0.7t-OAt.

Таблица 5.4

что позволяет получить Г (О = 2.388 - 4.15 2 + 2,777 . Возвращаемся к исходной переменной, что дает

2.388 4,156 . 2,777

W{p)KW(p).

р + 1 (p + lf (р+1) Составляя и решая уравнение вида (5.92). находим X = 0.4 и окончательно 2.388 4.156 2.777

(2,5р + 1) = + (2.5р + 1)3

W(p):

2.5р + 1

Модели на операционном усилителе. Для моделирования распространенного, хотя и частного, вида иррациональных передаточных функций, зависящих от Y(p) применяются схемы на ОУ. Включение в обратную связь ОУ элемента с операторным сопротивлением Z (р) = miYР = const) позволяет получить схему (рис. 5.27), моделирующую так называемое полуинтегрирующее звено

с передаточной функцией U7(p) = p. (У-постоянная времени).

Необходимыми свойствами элемента обратной связи обладает однородная линия, волновое сопротивление которой

+ рао

при отсутствии утечки (go

go + Ро

= 0) и индуктивности (йо = 0) имеет вид