корень называется простым. Если а, а,.....- действительные корни

кратностей kf, k, - , k, то

(x) = (x - ai)K{x - af.. .(X-afs, + + - - + = Я.

Комплексные корни могут быть только попарно сопряженными. Если . есть корень а = а + /6, то имеется и корень а*=а - jb. При этом

V {xa){x - a*) = x + px-{-q,

где р = -2а; q= а -\-Ь.

На этом основании в общем случае можно представить tf {х) в следующем виде:

9 (X) = (д: - at)*. ... (х- (х + PiX + qt)h .. . (х + РгХ + дф.

Зависимость между корнями и коэффициентами (формулы Вьета): -а% = j + Kg + . -. + о = 2 i5

02= ajag + Oicig Н-----1- а (П =

г, ;=1 г</

-Os = сцааз + ajajK Н----+ a 2a ja = < yaft5

I, i, А=1 (i</<A)

(-1) °n = 1 2 - - - n-

Корни ai = + изображенные точками комплексной плоскости, заключены между двумя окружностями радиусов R и г, которые определяют двумя способами.

1. Находят числа A = max(\Ai\, , ... , Л ); А = тях{ \ А], \Ai\..... Л 1 I ) и рассчитывают Ri = I + А А ~*. rj = (1 +

+ А\А П)-\

2. Если все Л->0, то i?* = max (Ф , Ф.....I. а = п(~,

Границы, определяемые этими способами, всегда расширены. Поэтому, еслиЛг>0, то следует найти п, R, и принять i? = min (i?i,i?2); r = max(rj. Га).

Исследование алгебраических уравнений упрощается с помощью следующих простых признаков наличия корней различного характера:

1. Уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень. 2. Если коэффициенты / (х) имеют разные знаки, то число положительных действительных корней либо равно числу перемен знака, ,либо на четное число меньше. Коэффициенты, равные нулю, во внимание ие принимаются. 3. Если все коэффициенты не отрицательны, а некоторые равны нулю, то уравнение имеет по крайней мере одну пару сопряженных комплексных корней с положительной вещественной частью. 4. Если все нечетные коэффициенты равны нулю, то каждому корню соответствует корень a+i = = -а,.

Важное значение для практики имеют признаки левизны всех корней, т. е. признаки расположения всех корней в левой (отрицательной) половине комплексной плоскости или условия, при которых все корни имеют отрицательные вещественные части. В теории автоматического управления эти признаки и условия называются критериями устойчивости. Применяя эти критерии [31], можно нумеровать коэффициенты уравнения в любом направлении. Если дано f(x) = ах -\- ... -}- ш, то можно положить Ао = а, ... , i4 = (В и А =а Ао - (В. Необходимым, но недостаточным условием левизны всех корней, является цоложительность всех коэффициентов.

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение - это уравнение, содержащее неизвестные функции и их производные (или дифференциалы). Если неизвестные функции зависят от одной независимой переменной, уравнение называется обыК новенным, если от нескольких,- уравнением в частных производных. Наивысший из порядков производных, имеющихся в уравнении, определяет пори-док дифференциального уравнения. Порядок системы дифференциальных уравнений определяется суммой порядков отдельных уравнений. Выражения, определяющие в явном виде неизвестные функции через независимые переменные и обращак)щие при подстановке уравнение в тождество, называются интегралом или аналитическим решением дифференциального уравнения. В общем случае интегралы дифференциальных уравнений определяются неоднозначно и могут содержать npoiwsojjbKfcw пос/поя кбге и {/ккии. Если на неизвестные функции наложены добавочные (начальные или граничные) условия, заключающиеся в том, что эти функции и некоторые из производных должны принимать определенные значения при заданных значениях независимых переменных, то решение обычно однозначное. . Интеграл дифференциального уравнения называется общим, если при соответствующем выборе произвольных постоянных и функций можно получить частный интеграл, отвечающий заданным начальным или граничным условиям.

На вычислительных машинах, в том числе на АВМ, получают приближенное решение, т.е. такое, которое при подстановке в уравнение дает приближенное равенство. При этом допускаемая степень приближения удовлетворяет требованиям практики.

Линейное дифференциальное уравнение и-го порядка - это уравнение вида

г/(п) + а(0г/ --Ь-.--Ьй 1(Ог/+а (Ог/ = (0. (1.1)

где f(t) и коэффициенты ai{t) ( = 1, ... , п)--некоторые функции независимой переменной t\ y{t) - искомое решение; yk (А= 1, . .. , п) - его производные.

Уравнение (1.1) называется однородным, если f{t) = О, и неоднородным, если f(t) =5 0; с постоянными коэффициентами при Oj {{) = const и с переменными при at) ф const.

При решении уравнения (1.1) можно поставить следующие задачи [14]:

1. Найти общее решение.

2. Задача Коши (см. гл. 5, задача с начальными условными).

3. Краевая задача (см. гл. 5).

Общее решение у -\- yf неоднородного уравнения (1.1) [6-8] состоит из общего решения {/о этого уравнения при f(t)=0 и частного решения yt, зависящего от вида f(t) Ф 0.

Для общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами необходимо определять все корни Ц) соответствующего характеристического уравнения

\п + а .Хп-1 + -. - + a jX -Ь а = 0.

Каждому корню соответствует частное решение eV. Если - корень кратности k, то feV, Ре\*, .... igV - также решения однородного дифференциального уравнения. Общее решение имеет вид

у = се* + с/ + - + (Q + cn.it +-+ ctk-it -) + --

Если имеются два комплексно сопряженных корня = а + /р и Xj+j- = = а - /р, то постоянные с/ и q+j - комплексные сопряженные числа. Поэтому

= е [с,-(cos р< + sin + Ci+i (cos Р< - / sin ад =

=е(сcospf+ с5шР0 = е Л5т(р<+9),

где с = сг + Ci+i, с = j (с,- - Cj+i) - вещественные коэффициенты;

Л=К(сТ+(0% <P = arctgJ-.

Пример 1. Дат у<)+д1)-у -д - 0. Характеристическое уравнение X* -j- - - 1 = 0 имеет корни ij j = ± 1; 4 = /; 5, 6 = ~ I-с,. Общее решение

у = Ciet + c~t + (Сз + С4О cos f + (Сб + CeO sin f = = Ciet + ce- + sin + 9 j) + sin (f + <Pa).

Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами решается проще всего операторным методом. Этот метод состоит в переходе от заданного уравнения для неизвестной функции y(f) к уравнению для изображения этой функции по Лапласу К(р), определении этого изображения и в преобразовании К(р) в y(t).

Преобразование Лапласа некоторой функции f{() - оригинала в ее изображение - F(p) определяется формулой

F{p)=fit)e--*dt,

где р - комплексная переменная.

Считают, что при t < О функция f(() = О, а при t>0\f(f)\< Me , где М к т - некоторые положительные постоянные.

Условно соотношение между f(t) и F{p) записывается в виде

/(О == F{p) (== - знак соответствия).

Основные операции с оригиналами и их изображениями:

1. Умножение оригинала на постоянное число соответствует умножению изображения на то же число:

Ф(0 = С/(0; Ф(р) = СР(р).

2. Сумма оригиналов соответствует сумме изображений:

Ф(0 = Д(0 + Ш; Ф(р) = Fi(p) + F,{p).

3. Умножение аргумента оригинала на постоянное число соответствует делению на то же число аргумента изображения и самого изображения;

9 (О = /( ); Ф(Р)