4. Запаздывание аргумента оригинала на постоянную величину т соответствует умножению изображения на е~:

f{t)f(t-y, Ф(р) = е->Р(р).

6. Умножение оригинала иа величину е~*, где Х = const, соответствует смещению аргумента изображения на величину X:

<р (t) = е-Н (0: Ф (Р) = f (Р + .

6. Дифференцирование оригинала f{t)r=F(P)

9it) = nth Ф(Р) = Р (Р)-fo; . <р(0 = Г(0, Ф(Р) = Р -Р (р)-Р-/о!

9 (?) = (О. Ф (Р) = Р (Р) - P -fo - р -о - - /Г-

7. Интегрирование оригинала f (t) = F (р):

: 9(0=J/(0(rfO. Ф(Р) = -{Р)5

о

8. Произведению изображений Р%(р), Р{р) двух функций f%{t), fz(t) соответствует функция; равная интегралу свертки:

Ф (Р) = i (Р) f й (Р) ? (О = ] --t)/2 () d-

В табл. 1.1 приведены некоторые пробтейшие функции и их1 изображения по Лапласу.

Операторный метод решения уравнения (1.1) с постоянными коэффициентами. Подвергнув обе части уравнения преобразованию Лапласа, находят изображение искомой функции

ур,ш+тЕ). . (,.2j

где \

t (р) = рп-Ь QiP -! -)-----h fl jp + а ?

М (р) = рп-1р + рп2д + .,. + рд- + ( -Ч + at (р ТЧ + P-i/o +

4о> г/о. , {/Г ** - начальные значения функции у и ее производных при = 0.

Таблица 1.1

Оригиналы f (Й

Изображения f (р)

(n-l)I

p + ct

-(l-e- *) сс

р (р + )

, 1 at)

(п- 1)1

(р + а)

- sin ш< ш

р2 +1В2

COS (0<

р2 4- 0)2

- e-sinw

(р + а)2 +

(COS Kit--.sin Kit 11

(P.+ a)+K

- sin ш< - t cosш/

[(P + + >3

-a -f-

sin iB< + at coso)/

{(Я + ) + > 3

/ 3 1.3,

[(р + ) + щ

Затем переходят от Y (р) к оригиналу у (f). В прикладных задачах Y (р) обычно выражается дробно-рациональной функцией

которую можно представить суммой элементарных дробей вида > - :

С Рр+Е

(p-a)ft (pa + pp+.f)s. .

что позволяет воспользоваться при переходе к y(t) табл. 1. I.

Возможны следующие случаи.

1. Нули щ полинома L(p) вещественные и простые:

N(p)

N(p)

L(p) (p -- а) . . . (p -a ) p -ajp -a.

P - n

2. Нули L(p) вещественные, но среди них есть кратные

L (р) (р - cti)Ai (р - акг ... (р а )А/г р (р - a-if

, + +(p- i)*. + +-±+{р-а,)+--- +(p V)Ar-

3. Среди нулей L (р) есть комплексные простые:

Л/(р) NJP) 1

i-CP) (p-ai)*.(p-a/ ...(p2 + piP+-ri)(p + p2P+-r2)-..

P-X-Og

P + PiP + Tfi Р + РгР + Та

4. Среди нулей L (р) есть комплексные кратные. Формула разложения оится аналогично Постоянные С, I [9] или по формуле

строится аналогично случаю 2.

Постоянные С, D, Е находятся методом неопределенных коэффициентов

1 ( /) * (dp )р=пг

Пример 2. Ram у + 2у +3y = f(t); f{t) = i; p = jfj=0. При этом t(P) = P + 2p+3: f (p) = -i; yW(p) = 0. Согласно выражению (1.2)

Y(p)==

p(p2 + 2p + 3)*

Разложение этой дроби имеет вид

р(р2 + 2р + 3) р р2 + 2р+3

откуда

Таким образом.

К(Р) = 1Г1

Р р2 + 2р+3 р2 + 2р + 3 1

(Р + J) + {V2)\

Р {p + lf + (V2f = г/(0 = -- cos 1/1/ - е-sin 12/3.