Если уравнение (1.1) описывает некоторую физическую систему, то правая часть обычно имеет вид

7 (О = Ьт + bxim-i) + ... + b :iX + brX, TAX = x{t). / ,

При нулевых начальных условиях F (р) = (ЬоР* + ip Ч----+

+ bm-iP + bo) X (р); М (р) = 0; L (р) = р + трп- + + a iP + а . Поэтому

При решении системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами ко всем уравнениям применяют преобразование Лапласа, находят изображения неизвестных функций и переходят к их оригиналам.

Пример 3. Решить систему у + у - у U У - Уъ - = О при = = Уго = 0. В операторной форме

pYi{p) + Yi{p)-YAp) = -L. pY(p)-Y{p)-3Yi(p) = 0

(Р + 1) Yi (p)-Y(p) = ~; (p-\)Y, {p)-3Yi{p) = 0. Отсюда

= Р(Р + 2Ир-2) = W (О = - I + 1 +

--> = р(р + 2)(р-2)-() = 4- + А- +А-~ -

Физическая система, описываемая линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, называется стационарной линейноц системой. Функция

и W М - Р + tP + - + m-.P + 6 4.

р- (Р) Р +%Р - + ---+ -iP + ° .

определяемая из (1.3), передаточная функция системы, причем К(р) = у(() - реакция системы на входное воздействие х(<) = х(р) при нулевых начальных условиях. Функцию (1.4) можно представить в виде произведения

W (р) = to(p), (1.5)

где коэффициент усиления

* = ; (1.б>

нормированная передаточная функция

РоР + PlP - + + Pm-lP 4- 1 (17.

<х рп + ,рП-14. ... + iP4-l .

В реальных физических системах /и <; п.

По передаточной функции определяют важные для практики временные и частотные характеристики системы.

Временные характеристики - это функции времени, выражающир реакцию системы y(t) на входное воздействие x{t) специального вида.

Переходнаяфункция (характеристика) ft(Q-реакция системы y{t) на

единичное ступенчатое воздействие х(0 = 1(<) = - = (р), до приложения

которого система находилась в статическом состоянии.

Импульсная переходная функция (характеристика) или весовая функция

g (О = - реакция системы на единичный импульс x{t)-У {t)=\ = X (р).

С помощью функций h(t) к g (f) можно определить реакцию системы у {t) на любое входное воздействие x{t) по формулам

t

fflt)x(0)h(t)+\h{t-z)d-z; , (1.8)

y(f) = x(t)h(0) + x{z)g(t-)dz. (1.9)

Частотные характеристики - это функции частоты (о, связывающие параметры y{t) ил:(<) в установившемся режиме, когда входное воздействие имеет гармонический синусоидальный характер x{f)=AxSin mf и установившаяся реакция системы имеет вид

y{t) = Ау sin {iot-<(),

где Ах ч Ау - постоянные величины (амплитуды).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) W (/ш) = = Р (ш) 4- jQ (ш) - комплексная функция, получающаяся из передаточной функции W (р) при подстановке р = /ш, j=Y-1- Смысл АФЧХ заключается в том, что если гармонические функции

X (t) = Ах sin (tat +tfx) ч У (О = Лу sin (wt -\-<fy)

символически (условно) представить в виде комплексных чисел

х = Ахех; yAjjey,

4-=и7(/ш). . (1.10)

Так как = 0. Чу = то

Г(/ш) = феХ (1.11)

Таким образом, при заданном значении ш функция Щ/ю) дает комплексное число, модуль которого ранен отношению амплитуд реакции системы и входного воздействия, а аргумент сдвигу фазы y{t) относительно x{t).

- Для получения аналитического выражения АФЧХ целесообразно придать передаточной функции вид

IF (г) fio + filP + fi.P + B3P+--- -

Тогда

W ашл - Во + б!/ + В (/Д) + Дз (/и) + - - ,3,

(1.15)

£в (и) = So - ВаСй + ----5

£i (ш) = ю (Й1 - Взи + flsw* - : );

iDjM)==o-x + < ----

Df (ш) = ш - Лзш2 + Лш*- ...). , Освободившись в выражении (1.14) от мнимости в знаменателе, имеем

W(.) = f±+/. (1-16)

Иногда функцию Щ/ш), в соответствии о выражением (1.10), называют частотной передаточной функцией. При этом АФЧХ называют график функции W(j(a) на комплексной плоскости.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) Л(ю) - зависимость модуля функции W{j(i)) от частоты <о:

Л (ш) = I Г (/м) I = VP4i)+WH. (1-17)

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) (р (ю) -> зависимость аргумента функции 37 (/ш) от частоты :

<p(a,) = arctg (1.18)

Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) Р (ю) - зависимость действительной части функции W (уш) от частоты ю:

Р (о.) = Re Ц7 (/ ) = Ppg.. + у 1 (1

0 + 0

, Мнимая частотная характеристика. (МЧХ) Q(©) зависимость мнимой части функции W(jm) от частоты ш:

C(<o)=ImlF(/ )=52tZ . (1.20)

Связь между всеми частотными характеристиками определяется выражением

W (/(9) = Л (ш) е* ) = Р (ш) -Н jQ (ю). (1.21>

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАХ) - Функция

L((B) = 201еЛ(ю), Ч (1..22)

построенная в логарифмическом масштабе частот, когда по оси абсцисс равномерно откладывают значения Igo, но проставляются значеиия ш, а не g<B. размерность частоты ео при этом с *: