![]() |
Разделы
![]() Рекомендуем
|
Автоматическая электрика Аналоговые вычисления 2) сходственные переменные (zj и г, хц и xi, tfg и tg) связаны постоянными коэффициентами - константами подобия: С,--, С, (1.30) Неизменная пропорциональность иногда подчеркивается обозначением С = idem (idem - неизменно). При условиях (1.30) соответствующие сходственные уравнения, функции и переменные называются подобными. Необходимое условие подобия.- совместность уравнений (1.20)--(1.30) связывает константы подобия определенными уравнениями констант, которые можно получить двумя методами. Метод перехода от одного сходственного уравнения к другому. Пользуясь константами подобия, заменяют, например, в уравнении (1.28) величины Zi, tis> Dfg сходственными величинами Zg, xi, t-, Ds, подставляя Zi = Сг, хц = Cxxi, = Cft, Dfg = . В результате получают промежуточное уравнение р(СгЧ. Схх, Сф аЛ = 0, (1.31) которое должно быть тождественным уравнению (1.29). Для установления условий тождественности, являющихся уравнениями констант подобия, необходимо сделать одинаковыми размерности членов этих уравнений. Уравнивание размерностей в уравнениях (1.29) и (1.31) может быть выполнено различными способами, вследствие чего могут иметь различный вид и уравнения констант. Однако всегда каждая возможная форма их может быть преобразована в любую другую. Пример 4. Объекты описываются дифференциальными уравнениями 14 + ацЧ - 12*1 = Oj (1.32) DjjZg-I-agjZa - слг = 0. - (1-33) Констант подобия три: Замена переменных в уравнении (1.32) дает 2 сг + aiiCjZg - a-ifixX = 0. (1.34) Сделав размерность членов этого уравнения такой же, как в уравнении (1.33), получим D,z, + aCtz, - = 0 . (1.35) Условия тождественности уравнений (1.35) и (1.33): и = ад Чф = а: ;> (1.37) Условия тождественности уравнений (1.36) и (1.33): Первая форма уравнений констант (1.37) легко преобразуется во вторую (1.38) и наоборот. Метод критериев подобия. Сходственные уравнения (1.28), (1.29) приводятся к безразмерной форме, при которой все их члены имеют размерность, равную единице! Ф(г1, хц, <Is. ац) ±1=0; (1.39) Ф{4, xl,t,D, aj)±\=0. (1.40) Произведения постоянных коэффициентов и степеней различных величин объединяются в безразмерные степенные комплексы - критерии подобия вида 4-r=airZlrxplirDlir; (1.41) n = azlrxPprDr, (1.42) j; где а, pir, Ъг sr - некоторые постоянные. (. В результате безразмерные функции представляются критериальными функциями Ф (Zi. л;1г, Dgs, Су) = <Р (Чг); (1-43) Ф(г2. xl. <2s. D, agy) = <Р (icar). . (1-44) a уравнения (1.39), (1.40) - критериальными уравнениями <Р( 1г)±1=0з (1.45) ЧКг)±1=0. (1.46) В случае подобия сходственные критерии равны; Чг = -> . (1.47) что иногда записывается в символическом виде Пг= idem. Уравнения констант подобия имеют вид = £irc rcP rc;V~*sr=i, (1.48) Приведение уравнений (1.28), (1.29) к безразмерной форме (1.39), (1.40) может быть выполнено различными способами. Вследствие этого различный вид могут иметь и критерии подобия, а значит, и уравнения констант. Однако, как и в методе перехода от одного уравнения к другому, каждая возможная форма их преобразуется в любую другую. Пример. 5. Объекты опИСываются уравнениями (1.32), (1.33). Приводим их к безразмерной форме, например вида ?£L+M 1 = 0- .2. +£21-1 = 0. (1.50) аиЧ ai a В первом случае (1.49) получаем критериальные уравнения 111 - tis + 1 = 0: < -722+1=0, (1.51) причем и уравнения констант ! = £il£=l; = (1.52) JCai ai 22 СйгС-г равносильные (1.37). Во втором случае (1.50) получаем критериальные уравнения 5 + 512 - 1 = 0; + 5122 - 1 = 0. причем ТС,] ==-; jcio =-; zi =- 4:2 =- ai2*l 12*1 022*2 a22.IC2 и уравнения констант * 222 J. ацаСг равносильные (1.38). Уравнения констант подобия должны быть совместны и независимы. Зависимые уравнения могут быть из системы исключены. Число независимых уравнений констант равно числу т. независимых критериев подобия Лг, которое определяет основная в теории подобия п-теорема: Зависимость F{Xi, *2..... Xk, Xi, X2, .... Xn) = 0, связывающая n = + m переменных и постоянных размерных величин, среди которых k величин х, Xfe обладают независимыми размерностями, может быть преобразована в зависимость /(Я1, 3t2, Jim) = О между т = п - k независимыми безразмерными степенными комплексами Лг величин Xi, Х2, .... Xk. X Xg, Хт- Если число констант подобия (д) равно числу независимых уравнений констант (т), то все константы однозначно определяются из Системы уравнений констант. Если q> т, то д - т констант выбираются произвольно. Случай q < т невозможен. Частными случаями математического подобия являются: геометрическое (подобие геометрических образов), временное (подобие функций времени; при этом временная константа показывает, в каком отношении находятся такие параметры функций, как период, временная задержка и т. п.), физическое (подобие объектов при наличии их физической аналогии; при этом все константы подобия - безразмерные величины). При физическом подобии критерии подобия могут быть получены без математического описания объектов, на основании анализа размерностей и л-теоремы. . Анализ подобия двух объектов заключается в: 1) установлении сход-ственности уравнений, описывающих их; 2) определении констант подобия; 3) выводе уравнений констант; 4) установлении соответствия констант подобия уравнениям констант; 5) установлении подобия условий однозначности.
|
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки. |