Свойства и преобразования дифференциальных уравнений 263

-------:--

то справедливы следующие теоремы. ----

Теорема 1. Существует одна и только одна система решений уравнений (5.5), удовлетворяющих условиям (а) и (б), т.е. через каждую точку {х, Уо) при выполнении указанных выше условий проходит одна и только одна интегральная кривая.

i Условие Липшица всегда выполнено, если функции fi обладают в области d непрерывными частными производными по всем переменным, а также в том случае, когда эти частные производные имеют конечное число разрывов. Последнее свойство имеет важное практическое значение при решении на АВМ нелинейных дифференциальных уравнений, так как обычно нелинейные функции аппроксимируются кусочно-линейными ломаными.

Теорема 2- Евли функция f(x, у), заданная на области D, непрерывна и ограничена и если через каждую внутреннюю точку (х, у о) этой области проходит только одно решение, то это решение непрерывно зависит от правой части уравнения = f{x. У) от точки (х, Уо)- Более точно для любого е>0 найдется такое В>О, что если \ х-д:о < В; \Уо - Уо\ <; \1(Хо> yo) - f(Xo, Уо)\<. то решение (л:) уравнения = 7 (д:, у) отличается от у (х) меньше чем на е.

Теорема 3. Если функция f{x, у, i), где - паражтр, непрерывна по совокупности всех аргументов, ограничена и удовлетворяет по у условию Липшица, то решение уравнения ==f(x. У- l) с данными начальными условиями

(.Xq, у ) непрерывно по паражтру i в замкнутом интервале, заключающем х Теоремы 2 и 3 отвечают на вопрос о близости решений уравнений при задании с погрешностью коэффициентов уравнений и начальных условий. Из

Система линейных дифференциальных уравнений имеет вид

= 2 W i + bi(x).i==l..... . (5.6)

где aj и bj - в общем случае функции независимой переменной х.

Аналоговые методы, так же как и численные, обеспечивают получение частных и притом приближенных рещений дифференциальных уравнений. Точность результатов, а также устойчивость определяются свойствами моделируемой и моделирующей систем.

Ниже приводятся условия существования и едияствеиности решения задачи Коши.

Если для правых частей уравнения (5.5) выполняются условия:

а) функции fi(i = 1, 2,..., п) непрерывны по всем аргументам в замкнутой области D:

д:о - й < а: < а:о-f я; J/io - 6 < j/j < fjO + 6:

б) в области d эти функции удовлетворяют условию Липшица относительно аргументов д, у, Уп,-- для любых систем значений у{, yi, ... -. Уп и У1, у1.....Уп. принадлежащих области d, имеет место неравенство

I fi {х. Уг. У%.....уп) - h 2. . in) К

<k\yl-yl\,

них следует, что на замкнутом интервале достаточно малые изменения начальных условий, правых частей и параметров уравнений приводят к малым изменениям в решении.

Практически решения дифференциального уравнения, полученные иа АВМ, не могут быть как угодно близкими вследствие того, что величина 6 оказывается неуправляемой , так как определяется техническими возможностями задания коэффициентов, начальных условий, точностью аппроксимации и т. п.

Если первичные погрешности не вызывают больших отклонений машинного решения от точного, то можно говорить о том, что малые погрешности в начальных условиях и параметрах вызывают малые погрешности в решении; такие системы называются грубыми . Встречаются уравнения, чувствительные к малым изменениям параметров и начальных условий; эти системы не грубые , исследование их с помощью АВМ затруднительно.

Преобразования уравнений

Приведение системы уравнений, полученной на этапах математической формулировки и выбора метода решения, к виду, удобному для ее решения, включает преобраз<вание к нормальной форме и преобразования для улучшения качества работы модели (упрощение вида уравнений, увеличение точности, уменьшение объема оборудования, увеличение надежности и облегчение процесса исследований).

Преобразование уравнений к нормальной форме сводится к выполнению двух основных операций - понижению порядка урабнений, входящих в систему, и выделению производных в каждом из уравнений - и приводит к упрощению и стандартизации приемов построения структурных схем электрического моделирования.

Преобразования для улучшения качества работы модели можно разделить на две основные группы: формально-математические и неформальные преобразования, выполнение которых связано с изучением физики исследуемого явления.

К формально-математическим можно отнести, например, нелинейные преобразования переменных и параметрические преобразования.

Нелинейные преобразования переменных сводятся к подстановке вида Zt = R{yi), гт Zi - новая переменная, и используются для уменьшения числа нелинейных операций в схеме моделирования.

Примером параметрических преобразований может служить замена дифференцирования по какой-либо из искомых функций дифференцированием по времени. Пусть, например, кроме уравнений

= . *п). =1.2.....k-\,k.k+l, п.

в систему входит уравнение

определяющее связь между переменными д: и Xj и замыкающее систему уравнений.

Его можно переписать в виде

-t ; .

Свойства и преобразования дифференциальных уравнений 265

Введение времени в качестве параметра в ряде случаев оказывается целесообразным для исключения операции деления и решения уравнений, содержащих в правой части особенности типа бесконечности.

Пусть, например, требуется решить уравнение вида

dy р{х, у)

Гх-Т(Гу) /-

где q{x, у) принимает в отдельных точках нулевые значения.

Вводя новую переменную t, получаем равносильную систему уравнений в параметрической форме:

%-Pic,yy,

dx , , .

В рассматриваемом случае задачей решения является лишь определение статической связи между переменными х п у, так что зависимость x{t) может быть любой, т. е. выбор ничем не ограничивается. Принимая ~ =

~x - q, можно получить уравнение (5.7).

К неформальным преобразованиям, основанным на изучении природы исследуемого явления, ОТНОСЯТСЯ!

полная и частичная линеаризация системы уравнений;

преобразования отдельных членов уравнений;

переход к уравнениям с выполнением логических операций.

Перечисленные преобразования производятся с учетом особенностей блоков, предназначенных для выполнения тех или иных операций. Вследствие существенной разницы точностных характеристик линейных и нелинейных блоков целесообразна максимальная линеаризация моделируемой системы уравнений.

Приближения, сводящиеся к преобразованию

т = А- hix + Р(х),

где Affix) - остаточный нелинейный член, выполняются на основе сравнения погрешности, образующейся за счет преобразования, с погрешностью, появляющейся на выходе схемы непосредственной реализации заданной функциональной зависимости.

При электрическом моделировании уравнений встречаются случаи, когда

переменные изменяются в некоторых пределах ± Ад: от среднего значения JCgp, что удобно использовать для линеаризации отдельных членов в системе уравнений по выражению

f(x) = f (дг,р) + ч (Ах) = Во -Ь ВАх + ВФ т Во + ВАх

(Вгф (Ах) - остаточный член).

Логические переключения в схемах аналоговых машин можно разделить на две основные группы - переключения, осуществляемые внешним по отношению к схеме сигналом, и переключения, связанные с выполнением операции выбора.