Методика моделирования задач Коши для дифференциальных уравнений 281 где Тдад - время решения задачи, с; N-постоянный коэффициент, опреде-.

яяемый по формуле Л/,=

; k - постоянная, определяемая по формуле -г л -г -г

dxf дх дх

Из выражения (5.10) следует, что необходимая частота подключения увеличивается с ростом постоянной k (при Тзад > 1) и что значение постоянного коэффициента N зависит от текущих значений переменных, определяющих зависимость (5.9), поэтому применение выражения (5.10) ограничено.

Масштабы и масштабные соотношенкя

В АВМ все переменные отображаются соответствующими физическими величинами, называемыми машинными переменными . Это могут быть электрическое напряжение, электрический ток, величины пассивных элементов и механическое положение. Для перехода от исходных математических соотношений к машинным переменным, моделирующим эти соотношения, в АВМ, и для обратного перехода каждой из переменных приписывается соответствующий масштаб. Таким образом с помощью масштабов устанавливается взаимно-однозначное соответствие между системой уравнений и ее моделью в АВМ.

Масштабом или масштабным коэффициентом математической переменной X называется множитель Мх, на который необходимо разделить значение машинной переменкой, чтобы получить значение переменкой х, т.е.

Xj, Значение машинной переменной t*x ~Z ~ Значение переменной в системе уравнений

Масштаб всегда имеет размерность. Так, если величина х измеряется в градусах, а машинная переменная -в вольтах, то размерность масштаба В/...®.

Для повышения точности и максимального использования шкал устройств, выполняющих отдельные операции, масштабные коэффициенты выбираются из условия*

М -

Iraax

где наз;- максимально возможное значение изображающего напряжения; jxlax-максимальное по модулю значение переменной х.

При расчете параметров схем следует указать на два основных способа использования масштабов. Первый способ предполагает переход к машинным уравнениям, второй - связан с раздельным определением коэффициентов передачи или масштабных соотношений для каждой из операций или операционных блоков и называется почленным масштабированием.

Машинные уравнения. При переходе от заданной системы уравнений к системе машинных уравнений для замены переменных Xi, например, напряжениями U[ используются масштабы, что и приводит к новой системе машинных уравнений, отличающейся от заданной значениями постоянных коэффициентов.

Далее в качестве машинной переменной используется напряжение, однако все изложенное может быть распространено на любую другую систему машинных переменных.

Так, например, если задана система двух линейных уравнений первого порядка Ёида

. = aixx + ai2t/ + aw;

то использование соотношений * = д- и { = приводит к новой системе уравнений, в которой переменными являются напряжения dUx М.

= 12 д- * + fl22 5 + аМд.

Полученную систему уравнений можно непосредственно набирать в схеме электрического моделирования, так как новые постоянные коэффициенты являются непосредственно произведением коэффициентов передачи суммирующего и ицтегрирующего усилителей или коэффициентом передачи интегрирующего усилителя, если он используется для интегрирования суммы напряжений.

Несмотря на внешнюю простоту, метод перехода к машинным уравнениям рекомендуется применять лишь при решении простых, в основном, линейных систем дифференциальных уравнений. Это связано е двумя положениями. Во-первых, при решении систем нелинейных дифференциальных уравнений переход к машинным переменным более сложен и содержит элементы почленного масштабирования. Во-вторых, распределение коэффициентов передачи, полученных в новой машинной системе уравнений, между отдельными узлами общей схемы ие может быть произвольным. Это распределение должно производиться с учетом пределов изменения промежуточных переменных, что также требует использования хотя бы в неявной форме элементов почленного масштабирования.

Почленное масштабирование предполагает замену отдельных частей исходной системы уравнений машинными уравнениями, которые используются лишь на этапе расчета коэффициентов передачи.

Связь между масштабами при суммировании с помощью суммирующего усилителя. Пусть необходимо образовать сумму

Работа суммирующего усилителя описывается выражением

= (5.12)

где - коэффициенты передачи усилителя, равные отношению сопротивле-ния обратной связи ко входным сопротивлениям: fe = . Используя масштабы, из (5.12) получаем

M=k,Mx.. . (5.13)

1=1

,1=1.....п.

Из полученного соотношения можно определить либо масштабы для переменных х при заданных коэффициентах передачи, либо коэффициенты передачи при заданных масштабах переменных Xi и г.

Связь между масштабами при интегрировании. Пусть в результате интегрирования необходимо получить величину

z = a{xdi. (5.14)

Операция интегрирования производится с помощью интегрирующего усилн-. теля, работа которого описывается выражением

\ ъыx=-jькU. (б-15)

Используя масштабы, из (5.13) получаем

Mz = -Mxdi. (5.16)

Сравнивая (5.15) с (5.14), найдем требуемое соотношение для масштабов

с помощью которого можно определить постоянную времени интегрирующего усилителя

М М I

( pf подЫ1<тегр. выраж 1

Л1,а- а

, Аналогичное выражение можно получить при совмещении интегрирования с суммированием напряжений.

Использование делителей напряжения. Если в машине коэффициенты пс редачи могут принимать лишь дискретные значения (например, 1, 2, 5, 10); то во входной цепи усилителя дополнительно включается делитель напряжения.

Напряжения на входе и выходе делителя напряжения связаны ливей-; ной зависимостью и = аи, где коэффициент передачи а < 1.

1 Наличие делителя напряжения изменяет масштабные соотношения:

k,M,

: для суммирующего усилителя М = а,. --

b для интегрирующего усилителя М = а-М.

Чтобы выражение (5.13) совпадало с (5.11), между масштабами М и М, должно быть соотношение