непосредственно из элементов матрицы А, которая предварительно определяется. Во второй группе методов, наиболее часто применимой к решению нели-

нейных задач, матрица G строится в результате отыскания якобиана или

дЕ . \

дцО В случае краевой задачи j -

Матрица А и вектор В определяются (п + 1)-кратным решением на АВМ заданной системы дифференциальных уравнений при начальных условиях, имеющих соответственно вид

хО) (0) =

;.<2)(0) = 1

j:( )(0)=

Для каждого из этой серии решений вычисляются соответственно ... , Е \ из которых и образуются А й В т формулам

В = £<0); А=\

Л )

Якобиан

дх(0)

определяется приближенным методом путем задания

малых приращений Дх (0) последовательно для каждой из координат вектора X (0). Для фиксирования вектора х (0) осуществляется п-кратиое решение системы (5.23) при условиях соответственно:

(0) =

fxi(0) + Ax(0)\ (0)

> (0) = I

, Ч (0)

xi(0) U (0)-f Дяг(О);

хп(0)

Получаемые при этом приращения вектора невязок АЕК АЕК .... АЕ используются для приближенного вычисления якобиана

дЕ дх(р)

Дл:(0) Ах (0) Ах (0)

Дг1 >

Ах(0) АхЩ Ах (0) /

Аналогично определяется якобиан

Первая группа итерационных методов наиболее часто бывает представлена методами простой итерации и Зейделя.

В случае применения метода простой итерации к решению двухточеч; ной краевой задачи для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений составляющие вектора можно определять по выражениям

Эти выражения достаточно просто получаются из (5.27), если в качестве матрицы принять матрицу, обратную D:

где D - диагональная матрица, элементы которой являются элементами матрицы А, стоящими на ее основной диагонали (аа). а коэффициенты а предполагаются постоянными и равными а£.

Достаточным условием сходимости простого итерационного процесса при щ = 1 является удовлетворение неравенств

п п п

i=i 1=1 i=i

В более общей формулировке для сходимости этого процесса требуется, чтобы все собственные числа матрицы А по модулю были меньше 1.

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что каждое полученное значение yf немедленно используется для получения следующей координаты бектора Y, т. е. координаты {/f*. Применяя метод простой итерации, все значения координат вектора У можно образовывать параллельно, используя (при о = 1) выражения:

Уп Уп D ~ n D

T. e. изменяя после окончания интегрирования системы уравнений начальные значения переменных xi (в частном случае у{ = хс{0)).

Применяя метод итерации по Зейделю, координаты вектора Y следует изменять поочередно, т. е. после каждого интегрирования системы уравнений изменять начальное значение лишь одной из переменных, так как

Di Di

. . .ft)

1 Jk).

Ik+Uk) f (j.(k+l) (ft) (ft)4

Это положение несколько увеличивает время решения и усложняет пост, роение схем управления, однако метод Зейделя, во-первых, более удобен для

его ручной реализации, так как переменные у изменяются поочередно, &, во-вторых, применение метода Зейделя для случая линейных уравнений обеспечивает сходимость поиска при положительно определенной Iaтpицe А.

Вторая группа методов включает в себя градиентный метод, метод скорейшего спуска, метод Ньютона и ряд их модификаций.

При градиентном методе в качестве коэффициента а* выбирается произвольная, достаточно малая величина а, не меняющаяся в итерационном процессе, а в качестве матрицы - транспонированный якобиан

\дЕЩ

(5.28)

В методе скорейшего спуска раются следующим образом;

Лду \

числовой множитель а и матрица G-** выби-

(5.29)

В выражениях (5.28) и (5.29) штрихом отмечена операция транспонирования матриц, а точкой - операция вычисления скалярного произведения векторов.

Применяя метод Ньютона, числовой множитель а* принимают равным единице, а матрицу G - обратному якобиану, т. е.

ду дуп

Эе Эе

ду± Э{/з 5{/

так что итерации производятся по формуле

Так как для линейной связи между К и £

дЕ .

Между методами поиска и итерационными методами существует глубокая связь, которая выражается в эквивалентности их математического обоснования и позволяет, несмотря на различие в алгоритмах, реализующих эти методы, единообразно оценивать такие характеристики этих вычислительных вроцессов, как быстродействие, сходимость и точность.

При выборе алгоритма для решения конкретной задачи поисковые и итерационные методы сопоставляются на основе следующих положений:

1. Методы поиска, в отличие от итерационных методов, применимы для решения не только краевых задач, но и задач идентификации и оптимизации.

2. Эквивалентные методы обладают сходными условиями сходимости и обеспечивают принципиально одинаковую точность решения (при использовании оборудования одного класса точности).,