уменьшается количество оборудования, но вместе с тем уменьшается и скорость выпол-полнения операций.

В машинах последовательно-параллельного действия операции с числами выполняются параллельно, а передача чисел осуществляется последовательно разряд за разрядом или группами по нескольку разрядов. В этих машинах достигается некоторая экономия оборудования за счет уменьшения каналов связи, но вместе с тем увеличивается время передачи чисел из одной части машины в другую.

2. По числу адресов в коман-д е машины подразделяются на одноадресные, двухадресные, трехадресные, четырехадресные и т. д.

3. По форме представления чисел различают машины с фиксированной запятой и машины с плавающей запятой.

Сущность этих двух форм представления чисел будет рассмотрена в следующем параграфе.

Системы счисления

Система счисления есть совокупность цифр и правил их соединения, позволяющая представить любую величину числом и дать ему название.

Система счисления, в которой значение каждой цифры зависит от ее положения (позиции) в числе, называется позиционной. Любое число в позиционной системе счисления может быть записано в следующем виде:

[х]р = хпр + Xn-iP711 + ... + х2р2 + + xlPi + х0р° + х-ур-i +

+ Х-2/Г-2 + ... + Ж--ир-О -1) + i

+X-mp- ,

где P - основание системы счисления;

xt - цифра 1-го разряда.

Системы счисления отличаются друг от друга своими основаниями, показывающими, во сколько раз единица последующего разряда больше единицы предыдущего разряда.

Наиболее распространенной из позиционных систем счисления является десятичная система, в которой каждое число представляется с помощью десяти различных цифр: 0, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

При записи чисел каждая цифра приобретает свое значение в зависимости от ее положения в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 1324,31 первая слева цифра означает количество тысяч, вторая - количество сотен, третья - количество десятков, четвертая - количество единиц. Цифра 3, стоящая после запятой, означает количество десятых долей и последняя цифра 1 означает количество сотых долей.

Указанное число можно записать согласно (24-59) в виде 1324,31 = 1 - 103+ +3 102+2 1С+4 10°+3 10-4-1 Ю-2.

Для записи чисел можно применять систему счисления с любым целым основанием.

Принимая в качестве основания число 2, получим двоичную систему счисления, в которой всякое число можно представить с помощью набора двух цифр: 0 и 1. При .основании, равном 3, получим троичную систему счисления. В этой системе любое число может быть представлено с помощью набора трех различных цифр: 0, I, 2.

В восьмеричной системе счисления необходимо иметь восемь различных цифр, а именно: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

В шестнадцатеричной системе счисления любое число может быть представлено с помощью шестнадцати цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а, б, в, г, д, е, где числа, большие десяти, обозначены буквами алфавита, а именно:

а - десять;

б - одиннадцать;

в - двенадцать;

г - тринадцать;

д - четырнадцать;

е - пятнадцать.

На практике при подготовке и решении математических задач на цифровых вычислительных машинах для представления чисел и команд применяются различные системы счисления.

Однако наибольшее распространение получили следующие системы: двоичная; восьмеричная; десятичная; шестнадцате-ричиая; двоично-десятичная.

Двоичная система счисления применяется в цифровых машинах для представления чисел и команд при выполнении арифметических и логических операций.

Применение двоичной системы счисления позволяет иметь для представления каждого разряда числа физические элементы, обладающие только двумя устойчивыми состояниями и работающие по принципу да , нет , что значительно упрощает конструкцию арифметического и запоминающего устройств по сравнению с теми случаями, когда используются системы счисления с основанием, большим двух.

Недостатком двоичной системы счисления является необходимость перевода входных данных из десятичной системы в двоичную, а результатов вычислений - из двоичной в десятичную.

Однако этот недостаток не является существенным, так как для большинства задач, решаемых на цифровых машинах, характерно большое число арифметических и логических операций при небольшом количестве исходных данных и выдаваемых результатов. В цифровых управляющих машинах, работающих совместно с реальными объектами, указанный выше недостаток не имеет значения, так как исходные данные в этом случае вводятся в вычислительное устройство в виде непрерывных физических величин с последующим преобразованием их в числа двоичной системы, а результаты вычислений после пре-

образования в непрерывные физические величины подаются на исполнительные устройства.

Числа в двоичной системе счисления имеют более громоздкую запись, чем в любой другой позиционной системе счисления с целым основанием. Например, трехразрядное десятичное число

895 = 1 2s + 1 28 + 0 27 + 1 26 +

-f 1 25 + 1 24 + 1 23 + 1 2Z +

+ 1 21 + 1 - 2°

в двоичной системе будет представлено в виде десятиразрядного числа

1101111111.

Для сравнения различных систем счисления можно ввести понятие о количестве цифроразрядов. Количество цифроразрядов равно произведению основания системы счисления на количество разрядов в числе, т. е.

S = рп, (24-60)

где S- количество цифроразрядов; р-основание системы счисления; п-количество разрядов числа, представленного в системе счисления с основанием р.

Эта характеристика является далеко не полной и может служить лишь для грубой оценки преимуществ одной системы счисления перед другой.

Восьмеричная система счисления, так же как и шестнадцатеричная, вследствие простоты перевода в двоичную систему широко применяется для представления команд в программе при подготовке задач.

Десятичная система счисления применяется главным образом для представления чисел при вводе исходных данных и выводе результатов решения из машины.

Двоично-десятичная система счисления представляет собой десятичную систему счисления, в которой десятичные цифры каждого разряда числа изображены в двоичной системе. Например, число 479 в двоично-десятичной системе будет представлено в виде:

4 7 9

0100 0111 1001

Эта система счисления служит промежуточной при переводе из десятичной в двоичную систему счисления и обратно. В некоторых цифровых машинах двоично-десятичная система счисления применяется и для выполнения арифметических действий.

Однако двоично-десятичная система счисления менее экономична по сравнению с двоичной, так как для представления чисел в двоично-десятичной системе требуется примерно на 20% больше двоичных разрядов, чем для представления их в обычной двоичной системе! Кроме того, выполнение арифметических действий над числами в

двоичио-десятичной системе значительно сложнее, чем над числами, представленными в двоичной системе.

Перевод чисел из одной позиционной системы счисления в другую

Перевод целых чисел. Пусть дано целое число [х]р, представленное в системе счисления с основанием р. Требуется перевести его в систему счисления с основанием г, т. е. найти число [х]т.

Предположим, что изображение числа [х]р найдено и имеет вид:

[х]р = Хпрп + Xn-ipn~l + ...

... + xip + хоро, (24-61)

где хп, Хп-и ха - цифры р-ичной системы.

Разделив [х]р на число г, представленное в системе счисления с основанием р, получим:

где [хх]р - целое частное от деления [х]р на г;

х0-остаток х0<.г.

Далее, разделив целое частное [х{\р на г, получим:

K]p=K] +*i>

где \х2]р - целое частное от деления [xi]p на г;

х1 - остаток (х,<г).

Аналогично, разделив целее частное [xz]p на г, получим:

где [хз]р - целое частное от деления [х2]Р на г;

*2-остаток (jc2<r). Деление будем продолжать до тех пор, пока

Г х ] = х < г.

Последовательной подстановкой получим выражение [х]р в виде

+ xo=lxt]PU + xir + xo=[[x3}pr + + х2] г2-+х\г + х0 = [х3]рг3 + х2г2 +

+ х1г + х0 = ---=[хт 1}рГ-* +

+*; 2 гт-2+*; 3 г--3+... + *;=

=vm+wm-+4-2т~2+ + -+4

Таким образом, запись числа, представленного в системе счисления с основанием г, имеет вид:

[Х ]r ~ [Xtnхт-1 -жг

где xt -цифра { -го разряда числа, представленного в системе счисления с. основанием г.

На основании изложенного можно сформулировать следующее правило.

Перевод целого числа из позиционной, системы счисления с основанием р в другую позиционную систему с основанием г осуществляется посредством деления числа, представленного в системе счисления с основанием р, на основание г. Остаток от первого деления дает цифру первого (младшего) разряда числа в системе счисления с основанием г. После этого производится деление полученного частного на основание г, остаток от которого дает цифру второго (справа) разряда и т. д. Деление продолжается до получения целого частного, меньшего г.

Рассмотрим случай перевода целых чисел из одной системы счисления в другую, когда между основаниями двух систем счисления имеется соотношение вида

где к - целое число.

Подставив в выражение (24-61) вместо р величину rh, получим:

[х]Р = жяг * + Xn-i* -1* + ...

... + xtrk + хо. (24-62)

Все цифры Хг суть целые числа, меньшие p-rh.

Представим каждую из цифр xi в системе счисления с основанием г в виде /{-разрядного числа

Хо = Xo,k-irh-i + Хо,ь-2Г -2 + ... + + xo,ir -f-*o,o = (*o,ii-i*o,ii-2 - Яо.о); Xi = Xi-tfb-* + Xith-zrh-2 + ... +

+ xi,ir -f- xito = i*i,ii-2 - *i,o);

Xn = Хп,ъ-1ГЬ~1 + Xn,k-2Th-2 + -f- ... ~\-Хп>1Г Xnjo - (*?i,fe-1X71,-2 - ... Xnto)

Если теперь подставить в равенство (24-62) вместо цифр Хг их выражения, то легко видеть, что получится многочлен, расположенный по степеням числа г:

[х] = (хп,к-1Г+1) -1 + л:и,ь-2Г<я+1)*-2 +

+ ... + X ,oTnh) + (-t.fe-i/- -! + + ... + Jd-lo/* -1*) + ... + (Xo.ft-l/-*-1 +

+ :.+X0,0)-

Таким образом, коэффициенты хц в данном случае являются цифрами в изображении числа х в системе счисления с основанием г.

Отсюда вытекает правило: для перевода числа, представленного в системе счисле-

ния с основанием р. в систему с основанием г, при р - гк, где к - целое число, необходимо и достаточно заменить каждую цифру системы р ее представлением в системе г. И наоборот, для перевода числа, представленного в системе счисления с основанием г, в систему счисления с основанием р, если р=гк и k - целое число, необходимо каждую группу, состоящую из к цифр системы г, заменить цифрой системы р.

Пример 1. Перевести целое десятичное число [х]10=473 в системы счисления с основаниями г=2; 8; 16

1. г=2

473 2

4 236 . 7 2

118 2

оста- 0 ток

3 10 2

18 4 29 16 18 19 2 16 0 18 9 14 1 8 0 1

3 2 1

*--направление чтени числа

[х]г = [х]2 = 1,11011001.

Переведем для проверки полученное двоичное число снова в десятичное. Для этого представим двоичное число в виде (24-59), где цифры и основание должны быть представлены в системе счисления, в которую переводится данное число. Тогда

[Jt],o= 1-28+1-2+1-26 +

+ 0 25 + 1 24 + 1 23 + 0 22 +

+ 0 2 + 1 2° = 256 + 128 + 64 + + 0+ 16 + 8 + 0 + 0+1= 473.

2. /-=8

-- направление чтения числа [х]г = [х]8 = 731,