Справедливость написанных зависимостей легко проверить, подставляя вместо х одно из двух возможных значений: 0 или 1.

Приведенные основные правила дают возможность решать самые разнообразные задачи алгебры логики.

Применение алгебры логики к синтезу и анализу схем цифровых устройств

Заметим, что при преобразованиях логических зависимостей целесообразно искать комбинации переменных в следующих формах:

xvxAy; х\/хлд.

Логическими элементами называются схемы, реализующие логические операции И, ИЛИ, НЕ.

В практике проектирования цифровых устройств часто приходится решать следующие вопросы:

1. Как по заданной логической функциональной зависимости выбрать схему, наиболее экономичную в смысле требуемого оборудования?

2. Как описать логическими уравнениями работу заданной схемы?

Эти вопросы можно решить, используя методы алгебры логики. Все операции, осуществляемые цифровой машиной, выполняются с помощью элементов, из которых образуются различные переключательные цепи.

В дальнейшем переключательной цепью будем называть устройство, на выходе которого появляется сигнал, являющийся логической функцией входных сигналов. Каждый входной сигнал может принимать одно из двух возможных значений: 0 или 1. Такой входной сигнал будем называть двоичной переменной. Функция двоичных переменных, значение которой равно нулю или единице при всех возможных комбинациях входных двоичных переменных, называется переключательной функцией.

Применение аппарата алгебры логики сокращает работу разработчика при синтезе

1 Указанные комбинации легко упрощаются:

х/\учхлу=хл(у У у) = х, так как у V у-1;

xvxAy = *Л(1 Vy) - х, так как 1 V у=\щ

xyxAy = (xvx)A(xvy) - худ,

так как х V х=1.

Пример. Пусть дана переключательная функция вида

f (х, у) = XAyVXKyVXAy. (24-83)

На рис. 24-44 представлена блок-схема устройства, предназначенного для реализации переключательной функции (24-83).

Из рис. 24-44 видно, что для реализации переключательной функции в этой форме требуется: две схемы НЕ, три схемы И на два входа каждая и две схемы ИЛИ.

Однако переключательную функцию (24-83) можно легко преобразовать и получить более простую логическую зависимость, дающую то же решение при всех возможных комбинациях переменных X, у. Преобразуем f(x, у):

Рис. 24-44. Блок-схема устройства реализации переключательной функции вида (24-83).

XAyVXAyVXAy=yA(XVx)VXAy =

На основании распределительного закона выражение х А у V у может быть упрощено:

xAyvy = (xvy)A(yVy) = xvy,

различных схем на первом этапе их проектирования. Для осуществления анализа работы схемы последнюю заменяют функциональной схемой, состоящей из логических элементов типа И, ИЛИ, НЕ и находят выражения переключательной функции анализируемого устройс? .

следовательно,

f(x, у)=хл~у\/хл~у\/ХАд = х\/у.

На рис. 24-45 представлена блок-схема устройства, реализующая переключательную функцию.

Рис. 24-4S. Преобразованная блок- схема устройства реализации пере- ключательной функции вида (24-83).

г, I I

Рис. 24-46. Схема для реализации переключательной функции вида (24-84).

Для схемы на рис. 24-45 требуется уже две схемы НЕ и одна схема ИЛИ.

Если воспользоваться законом инверсии, то функцию f(x, у) можно упростить даль-ше и привести к виду f(x, у)=х а у. Для реализации функции f(x, у) в данной форме потребуется всего две схемы: схема И и схема НЕ.

Рассмотрим еще один пример. Пусть имеется переключательная функция вида

f(x, у, г) = хлулг\/хлулг\/

\JxA~y~Az. (24-84)

Преобразуем переключательную функцию (24-84), прибавив к правой части член

хАуА г, что возможно на основании равенства х-х ух. Тогда

f (х, У, г) = ХАУ Azv xAyAzVxAyA AZVxAyAz = {ХАУ AZVXAyAz) V V(XAyA~ZVXAyAz) = XAzA(yVy)\/

vyAz a(xvx) - zA(xvy);

f(x,y,z) = zA(xvy) (24-85)

На рис. 24-46 представлена схема для реализации переключательной функции в форме (24-84). На рис. 24-47 представлена схема для реализации той же переключательной функции, но приведенной к виду (24-85),

С помощью аппарата математической логики можно решать задачи анализа и синтеза различных схем, описывая их работу, логическими уравнениями, и, применяя к этим уравнениям основные законы алгебры логики, упрощать их до минимальной

Г

Рис. 24-47. Преобразованная схема для реализации переключательной функции вида (24-85).

формы. На основании анализа можно сравнить различные схемы по количеству оборудования и произвести возможные упрощения.

24-7. ЭЛЕМЕНТЫ И УСТРОЙСТВА ЦВМ

Способы изображения нуля и единицы в цифровых машинах

Большинство цифровых машин оперирует с числами, представленными в двоичной системе счисления. Существуют два основных способа представления двоичных цифр в машинах.

1. Цифры двоичного числа представляются в виде уровней напряжения (потенциальными сигналами). Например, цифра 1 изображается высоким уровнем напряжения, а цифра 0 - низким уровнем напряжения.

На рис. 24-48 представлено двоичное число, цифры которого изображаются положительными уровнями напряжения. Такое представление двоичных цифр применяется при построении цифровых машин на ламповых элементах.

В случае построения цифровых машин иа полупроводниковых элементах двоичные цифры могут быть представлены так, как показано на рис. 24-49. В этом случае цифре 1 соответствует отрицательное напряжение, а цифре 0 - нулевое.

2. Цифры двоичного числа представляются либо положительными и отрицательными импульсами либо наличием или отсутствием импульсов в соответствующие моменты времени.

На рис. 24-50 представлено пятиразрядное двоичное число 10011, изображенное в импульсном виде, где 1 изображена положительным импульсом, 0 - отрицательным. На рис. 24-51 представлено то же число, где 1 изображена положительным импульсом, а 0 - отсутствием импульса.

В цифровых машинах, построенных на полупроводниковых элементах, чаще всего двоичные цифры представляются так, как показано на рис. 24-52, где 1 изображена

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ

Разд. 24

отрицательным импульсом, а 0 - отсутствием импульса.

Представление двоичных чисел в виде уровней напряжения называется потенциальным или статическим способом кодиро-

©

®

©

©

Рис. 24-48. Представ- Рис. 24-49. Представление ление двоичного чис- двоичного числа отрицала положительными тельными уровнями по-уровнями постоянного стоянного напряжения, напряжения.

Г В О г t

П ПП.

Рис. 24-50. Пятиразрядное двоичное число, где 1 соответствует положительный импульс; а 0 - отрицательный.

1 & € t I

Л 01

Рис. 24-51. Пятиразрядное двоичное число, где I соответствует положительный импульс, а 0 - отсутствие импульса.

еания. Представление двоичных чисел в виде серии импульсов называется импульсным или динамическим способом кодирования. При построении цифровых машин применяется как динамический, так и статический способы представления двоичных чисел.

Использование того или иного способа кодирования обусловлено выбором основных элементов, из которых создается цифровая машина.

1 О D t i

Рис. 24-52. Двоичный код с представлением 1 отрицательным им- пульсом, а 0 - отсутствием импульса.

Классификация элементов цифровых вычислительных машин

Все элементы ЦВМ можно разделить на несколько типов в зависимости от их функционального предназначения, а именно:-

цифровые;

логические;

усилительные и инвертирующие; формирующие;

элементы задержки и памяти. Цифровые элементы

Цифровые элементы предназначены для представления и запоминания цифр двоичной системы счисления в виде электрических сигналов. Наиболее распространенными цифровыми элементами являются триггеры.

На рис. 24-53 представлены функциональные схемы статического триггера.

Х-k 1Л

12 3

/ г

Рис. 24-53. Функциональная схема статического триггера.

На рис. 24-53, а изображена функциональная схема статического триггера, имеющего три входа 1, 2, 3 и два выхода Т и Т, а на рис. 24-53,6 изображена функциональная схема триггера, имеющего два входа 1, 2 и два выхода Т и Т. Управление триггерами осуществляется подачей управляющих сигналов на соответствующий вход. Информация о состоянии триггера снимается с выхода Т или Т.

В дальнейшем будем называть выход Т единичным, выход Т - нулевым. Это означает, что если триггер находится в единичном состоянии, то на выходе Т будет