°п = J 2S (со) \Ф (/со)Р dco =

= - \ G (со) )Ф 0со)г dco 2jt J

AF3G Gn(0).

(21-41)

В формулу (21-41) введена эквивалентная спектральная плотность Gn(co) для положительных частот (или односторонняя спектральная плотность), которая определена лишь для положительных частот, причем

Gn(co) = 2S(co) при со 5г О,

так что для со=0 Gn(0)=2 Sn(0).

Спектральная плотность по физическому- смыслу эквивалентна мощности шума, приходящегося на единицу полосы пропускания системы. Произведение спектральной плотности на полосу (если эта плотность постоянна) дает общую мощность, т. е. дисперсию помеховой составляющей ошибки. В случае, если спектральная плотность непостоянна в пределах частотной характеристики, вычисление общей мощности (дисперсии) производится по формуле (21-39).

Для вычисления дисперсии ошибок необходимо располагать спектральной плотностью случайных сигналов, которая в свою очередь определяется по корреляционным функциям этих сигналов R(t) в соответствии с соотношением

S(co) = J R(x) e-idx

= 2 J R (т) cos сот dt

G (со) = 4 J R (т) cos сот dr.

С другой стороны, корреляционная функция может быть найдена по спектральной плотности так:

S(co)e

/ют d,

со =

- Г S (со) cos сот da it J о

1 г

Корреляционные функции вычисляются теоретически или определяются экспериментально.

Некоторые типовые корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности представлены в табл. 21-6. Часто корреляционную функцию случайного процесса можно аппроксимировать выражением: R(x)=o2e~a,x. Здесь а2=Я(0)- дисперсия, а величина а=1/тКор характеризует скорость спадания корреляционной функции: при Т=ТКОр, R(t) уменьшается до 37% максимального значения. Величину Ткор называют иногда временем корреляции. Чем больше время корреляции, тем более узким будет спектр случайного процесса, т. е. тем более узкополосным будет случайный процесс. Напротив, с уменьшением времени корреляции корреляционные связи в процессе ослабляются, он становится более широкополосным и при Ткс переходит в белый шум.

Для многих стационарных случайных процесов между шириной энергетического спектра ДсоСп и временем корреляции существует обратная зависимость: АсоСп~

~ 1/Ткор.

Определение дисперсии и эквивалентной полосы связано с вычислением интегралов (21-39), которые можно свести к интегралам типа

+/со

J fcj£)£i-s) s 2jt/ J d (s) d(-s)

где s - комплексное переменное, c(s) и d(s) - полиномы относительно s (степень полинома числителя по крайней мере на единицу меньше степени полинома знаменателя) и d(s) имеет нули только в левой полуплоскости (это условие выполняется для устойчивых систем):

c(s) = с0 -f- cts -f- c2s2 -f-

+ ... + c-is- ; (21-43)

d(s) = dB + diS + dzs2 + +... + dnsn.

(21-44)

Интегралы выражаются через коэффициенты полиномов Ci и dt в соответствии с данными табл. 21-7 (стр. 73) [Л. 6].

Рассмотрим примеры вычисления дисперсии и эквивалентной полосы с помощью интегралов (.21-42).

Пример 1. Найти эквивалентную полосу системы, состоящей из инерционного звена, охваченного единичной обратной связью. Передаточная функция разомкну-К

той системы W= ---- . Передаточная Тр + 1

функция замкнутой системы

Таблица 21-6

Некоторые корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности случайных статистических процессов

Корреляционные функции R (г)

Аналитическое выражение

График

Спектральные плотности S(fi>)

Аналитическое выражение .

График

N6 (т)

-а\х

о.з?бг\в гхт

%Ь/ -

2о2т

2ао2

wa + az cTkop + I

бос

0ге-cos k

f-l-

I a2 + (ш -

P)2 + a2 + ((o+$)2

е со.

3 <

Таблица 21-7 Формулы для вычисления интегралов типа

/ = -4 C(S)(C~S) ds 2щ J d(s)d(- s)

-;co

С (S) = CQ + ct sH------s i s -1

d (s) = do + djs H-----h d s

4 [~d0d3 + d0 dl ) +

- - -

2d0d4( d1d2d3 - d\d4 - d0d) + ( 4- 2ci c3)d0dId4 +

+ (cj- 2c0 c2) d0d3d4 +

- - .------*

т v К

iC+1

Согласно определению эквивалентная полоса

2л J

Ф (/со)2 dco

AF3 = Так как Ф(й)=Аэ, то

Ф2 (0)

/С? dco

LJ f

-с* со

= 2яГ! [Т-г

[т(/со) + 1[2 dco