Представим последний интеграл в виде /°

i 1 li-

- -f

2л/ J

-fsrp ds

(1 +st)(1 - st)

-i°

Зщесь в результате замены переменных

/со = s, dco = - ds /

интеграл приведен к форме (21-42), где c(s) = 1; d(s) = 1 + st.

В соответствии с формулами (21-43) и (21-44) запишем:

Со = 1; do = 1; di = т. Тогда по формулам табл. 21-7 находим:

Таким образом, К + 1

2d0d1

Пример 2. Найти эквивалентную полосу для звена второго порядка с передаточной функцией

ф (п) = -

w Т*р*+21,Тр +1 Согласно определению

/Czdco

1 1 С

Fa~ К? 2п )\Т С/.

(/со)2 + 2£Г (/со) + 1 Р

Сделаем в интеграле замену переменных /co=s и представим интеграл в виде /=AF3 =

2зх/ J

-/оо

Г2 + 2£Ts + 1!

(Г252 + 2£Ts + 1) (T2s2 - 2£Ts + 1)

-/со

Таким образом,

c(s) = 1; d(s) = 72s2 + 2£7s -f 1.

В соответствии с (21-43) и (21-44) находим: со = 1; с} = 0; do - 1; dt = 2£Г; da = Г2.

По табл. 21-7 получим:

2d0d1dt 2d0d1 4£Г

и ДР8=1/4£7Л

Пример 3. Вычислить дисперсию ошиб- ки воспроизведения, вызванной действием помехи Gn.i, действующей на вход первого звена системы (рис. 21-66) с передаточной функцией в разомкнутом состоянии

К0 (Тк р + 1)

Р (Гр +1)

Задана корреляционная функция угла ©ш:

В соответствии с (21-38) найдем, что мгновенное значение ошибки воспроизведения

W(D)

©вое (О

l + W(D)

= -0(0)001,

6m Ю =

а ее дисперсия в соответствии с формулой (21-40)

где Sn(coi) =

2ао2

строку,

со2 + а2 табл. 21-6).

Передаточная функция замкнутой системы

Ф(р)

К (ТкР + 1)

p(TP+l)+Kv(TKp+l) Соответственно

Ф (/со) = -

Поэтому

{m2T+ja(KvTK + l) + Kv

( 2ко2 1 Ку (/соГк + 1) р dco

.1 (с+а2) (/со)2 Т+,М1+КуТк)+Ку Р

Учитывая, что со2+а2= а+/со2, запишем последнюю формулу в виде

al = 2aa2Kll3,

/соТк + 1 Р dco

1(/со+а)Р [(/со)27Ч-/ш (l-HW+KJP.

Таблица 21-8

Эквивалентные полосы пропускания некоторых динамических звеньев и следящих систем

Тип системы (звена)

Передаточная функция Ф(£>)

Эквивалентная полоса Д/7

Тр+1

Т*р* + %Тр+1

4£Г

Тр + К + 1

К+1 2Т

Тр* + р + К

2(Ti + r2)

К(Тг + Тъ)

2(Т1 + Т2-Т1Т2К)

К(ТкР + 1)

+ р* (7\ + Г2) +

+р (1+КТк)+К

т1к+ (гх + г2 + гк)

2(Г1+Г1+ГК-/СГ1Г2)

К(ГкР + 1)

2(ГК-Г)

Сделаем далее замену переменных /tu=s и запишем интеграл в виде

/з= - X 2л j

[ 1 + Гк sfds

(s+a) lT*+s(l+KvTJ+Kv]r

1 С (l+TKs)(l-TKs)ds

2л/ J (s + a

)[Ts2 + s{l+KvTK) +

+ К0] (-s+a) [Ts2-s (l+KvTK)+Kv]

Отсюда ясно, что в соответствии с формулами (21-43) и (21-44)

c(s) = l+TKS;

d(s) = (s+a) (7V + s + sKvTK + /( ) =

= Ts* + s==(Ta + 1 + KVT ) +

+ s(tf + a + aKvTK) + aK .

Выпишем значения коэффициентов полиномов c(s) и d(s):

со = 1; Ci = Т ; С2 = 0; d0 = аКт>; di = Kv + a + aKvTK; dz = 1 + Та + КЛ; d3 = Г. В соответствии с табл. 21-7 находим:

с\ d0 d3 + cld2d3 2dod3 (d\d2 - dod3)

aTlKvT + (l+Ta + KvTjT ~ 2aKvT{{Kv + a-\-aKvTK) X

* X(\-\-aT+KvTK) - aKvT\

Отсюда для дисперсии получаем:

an=ao2X

- 1+аТ + К0Тк

к+ aKv

X(Kv+a+aKvTK)(l+aT+KvTK)-aKvT

(21-45)

В связи с тем, что в практике дисперсию ошибки часто приходится вычислять по упрощенной формуле (21-40), удобно пользоваться выражениями для эквивалентных полос наиболее часто встречающихся систем (табл. 21-8).

Оптимизация систем

Оптимальной называется система, которая обладает наибольшей возможной для данных условий точностью. Это означает,

1 Иногда ставятся дополнительные требования, например быстродействие при скачкообразном управляющем воздействии и некоторые др.

что заранее выбранные характеристики ошибки воспроизведения имеют минимально возможное значение. При этом должен быть обусловлен характер внешних воздействий, критерий точности и класс систем, среди которых ищется оптимальная система (линейные стационарные, линейные нестационарные, нелинейные).

Структура и параметры оптимальной системы зависят от характера внешних воздействий, а также от выбранных характеристик точности. Если воздействия носят случайный характер и их можно приближенно считать эргодическими и стационарными и оптимальная система ищется в классе, линейных систем, то в качестве характеристики точности выбирается обычно дисперсия ошибки воспроизведения и оптимизация осуществляется по минимуму этой дисперсии.

При решении задачи оптимизации необходимо поставить дополнительное требование физической возможности (осуществимости) системы. Это означает, что передаточная функция оптимальной системы должна быть такой, чтобы импульсная переходная характеристика была равна нулю при 0, т. е. чтобы сигнал на выходе не появлялся раньше, чем он подан на вход.

Часто оптимальная система, найденная из условия минимума дисперсии ошибки воспроизведения при случайном управляющем сигнале, недостаточно хорошо реагирует на регулярные и медленно меняющиеся управляющие воздействия и может иметь неудовлетворительную переходную характеристику. Между тем именно такие управляющие воздействия бывают характерными для реальных условий работы системы.

Поэтому иногда полагают, что параметры и структура должны быть выбраны так, чтобы минимизировалась сумма дисперсии сшибки, обусловленной случайными возмущениями, и квадрате установившейся динамической ошибки, обусловленной регулярным входным сигналом. При этом могут предъявляться дополнительные требования к виду переходной характеристики.

В практике приходится считаться с тем, что некоторые элементы системы являются функционально необходимыми, поскольку они связаны с наличием определенного объекта регулирования и назначением системы. Таким образом, возникает задача оптимизации системы с частично (а иногда и полностью) заданной структурой. В этом случае оптимизация достигается выбором некоторых корректирующих цепей и определением их параметров или только выбором параметров системы. ,

Начиная с первых исследований Н. Винера, опирающихся на основополагающие труды А. Я. Хинчина и А. Н. Колмогорова, вопросам оптимизации уделяется большое внимание и к настоящему времени об этом имеется обширная литература. В частности, разработан специальный аппарат, с помощью которого можно синтезировать системы (т. е. находить структуру и парамет-