ры оптимальной системы) при достаточно общих предположениях о характере внешних воздействий [Л. 2, 3, 13].

В последние годы развиваются новые направления оптимизации автоматических систем. Они касаются использования аппарата теории игр и статистических решений [Л. 2, 10], а также теории нелинейной фильтрации. В последнем случае полагают, что сигналы, поступающие на вход системы, содержат регулируемую величину в виде параметра, причем сигнал является нелинейной функцией этого параметра. Подобные задачи возникают в радиотехнических следящих системах. На вход радиоприемных устройств таких систем поступают высокочастотные сигналы, а регулируемые величины (частота, фаза, угол и т. п.) являются параметрами этих сигналов. С помощью теории нелинейной фильтрации в некоторых случаях удается определить структуру и параметры системы, предназначенной для наилучшего (по определенному критерию) воспроизведения регулируемой величины. Эта теория в настоящее время развита для марковских случайных процессов [Л. 5, 24].

В связи с тем, что реальные системы работают в условиях, когда параметры объекта регулирования и характеристики внешних воздействий могут изменяться в широких пределах, возникает необходимость в самонастраивающихся или самоприспосабливающих с-я системах, параметры и структура которых автоматически без участия оператора перестраиваются так, что постоянно учитываются изменения внешних условий и достигаются оптимальные условия управления [Л. 9, 10].

В дальнейшем рассматриваются только наиболее простые задачи оптимизации линейных стационарных систем с постоянными параметрами (см., например, Л. 2, 5). Эти,задачи решаются на основе сравнительно простого математического аппарата корреляционной теории эргодических случайных функций.

Минимизация ошибки при заданной структуре

Рассмотрим примеры оптимизации системы при различных предположениях о характере управляющих и мешающих воздей-ствий на входе (ху и хп соответственно), когда структура системы задана.

Из формулы (21-38) следует, что ошибка воспроизведения системы

0ВОС

У

состоит из динамической ошибки 1

:фе xv-i+w у

(1~Ф)х

и случайной помеховои составляющей

@П = - ФХП:

Здесь Ф = -

1 +W

= 1-Ф.

Например, для системы на рис. 21-49 Kv 1

р(Гр-И)

00 р(Гр + 1) + *0

At, 2VTKt

(21-45 а)

AjF3

(21-46)

(см. стр. 46).

Случайные составляющие ошибки воспроизведения будем характеризовать величиной дисперсии и рассмотрим задачу минимизации дисперсии общей ошибки на примере системы (рис. 21-49).

Управляющее воздействие - регулярная функция времени, мешающее воздействие - широкополосная помеха. Система имеет ас-татизм первого порядка. Поскольку в дальнейшем рассматриваются ошибки в установившихся режимах, примем, что управляющее воздействие - линейная функция времени

ху = Хо + vt,

где скорость v - величина постоянная.

Мешающее воздействие будем считать достаточно широкополосным и ацпроксими-руем его белым шумом со спектральной плотностью Sn=Sn(m) =N ед2/гц, где ед2 обозначает размерность входного воздействия х.

Для регулярного управляющего сигнала в установившемся режиме имеет место постоянная скоростная ошибка (стр. 54):

®уст-

Дисперсия помеховои составляющей (см. стр. 70):

1

Ф(/Сй)25п

(co)dco.

Поскольку Sn (со) - величина постоянная, равная Sn, имеем:

1 +W

J Ф (/со)2 da=NAF3

Таким образом, суммируя квадрат установившейся динамической ошибки с дисперсией помеховой составляющей-, получаем:

С увеличением полосы пропускания (с ростом Kv) первая из этих составляющих неограниченно убывает, вторая - растет. Существует значение Kv, соответствующее минимуму CgOC , которое и будет оптимальным. Оно находится из равенства dc\QJdK~ =0 и равно:

Лаопт- n j

Минимальное значение дисперсии ошибки определяется путем подстановки значения Kvout в выражение для Св0С, что дает

(vN)

.2/3

- ъг- т 2/2

= 0,83(а/У)2/3.

(у N)

Из последней формулы следует также, что минимум ошибки наступает при таком значении Kv, когда ошибка от помехи (второй член суммы) в 2 раза превышает ошибку, обусловленную управляющим воздействием.

Так как эквивалентная полоса системы не зависит от постоянной времени Т, условия при оптимизации накладываются лишь на один параметр системы Kv\ второй (Т) может быть выбран независимо, исходя из других требований, например из необходимости получить заданную переходную характеристику. Полагая, что такая характеристика соответствует коэффициенту колебательности £=0,7, из (21-46) получаем:

2KV

Если параметр Т задан и его невозможно сделать меньшим некоторого минимального значения (например, Т0,1 сек), то для малого уровня шума, когда Kvout становится достаточно большим, величина £ может оказаться слишком малой и оптимальная система будет иметь совершенно неудовлетворительную переходную характеристику. Так, при А опт=50 1/сек и Т= =0,1 сек, £-0,22, а при KvBut = W0 1/сек £=0,16.

. В таких случаях, если нельзя изменить структуру системы, целесообразно несколько отойти от оптимума, поскольку зависимость Свое от К носит сравнительно плавный характер, особенно в области Kv>Kvobt.

Управляющее воздействие - случайная функция времени; помеха - широкополосна. На вход системы поступает стационарный случайный сигнал со спектральной плотностью Sy (со) и мешающее воздействие, ко-

торое, как и раньше, аппроксимируется белым шумом со спектральной плотностью 5п(со)=Л едсек. Примем, что Sy(co) описывается выражением

2d2, а

Sv (со) =-,

yv а2 +со2

где а=1/тк характеризует скорость спадания функции корреляции (Тк - время корреляции); oq - дисперсия управляющего воздействия на входе.

Так как случайные функции времени ху и Хп статистически независимы, дисперсия ошибки воспроизведения

<4с = <+°п. где в соответствии с (21-38) и (21-39)

°у = -~ J *e и°>)\2 sy ( ) dt°; <21-47)

° = ~hrn 11 ф (/<п)2 *°=mF*

Учитывая выражение (21-45) для рассматриваемого примера и производя вычисление интеграла (21-47) в соответствии с формулами табл. 21-7, получаем:

°у~ 2л/ J {a + s)(a - s)[s{Ts+ *

-/со

-М) (-S) (-Г5 + 1) us =

.* + 1) + Kvl l-s(-Ts+1) + K l

1 Г .2 <rg 2л/ J d

с (s) с (-s)

-/оо

(S)d(-S)

da.

d(s) == (a + S)[s{TS+1) +Kvh

c(s) = s(Ts + 1). Производя вычисления, находим:

og [Г ( +* )+!] a +аГ2 + Kv rK+T + TTKKs

0 tk + T + t*Ks -

Таким образом, окончательно получаем:

2 2 тк + Т + 2% К Cw =a ---

4 + t + <kv

N~. (21-48) 2

Оптимальное значение К и, соответствующее минимуму оос , определяется из ра-

венства do BOC /dKv=0, что дает:

Kv опт -

2о2(тк2-Г2) тк+Г Nit т2

Если входное воздействие является узкополосным, т.е. ТкГ, то можно получить приближенные выражения

Kv опт ~ °o

o0VaN

(21-49) (2- Г) +

а0 у 2aN +G2, аГ. (21 -50)

Заметим, что оптимальное значение Kvont зависит от параметров внешних воздействий тк, Оо и N и от постоянной време-ниТ. Поэтому при оптимизации свободы выбора Т не остается и может оказаться, что система будет иметь неудовлетворительную переходную характеристику. Несмотря на то что в случае узкополосного воздействия Kvom не зависит от Т [формула (21-49)] постоянная времени не может выбираться произвольно, поскольку она входит в выражение для о вос.мини ПРИ вариациях Т меняется величина минимальной ошибки.

Пример. Найдем величину оптимального коэффициента передачи в системе с Т- =0,1 сек при следующих параметрах внешних воздействий:

Оц = 100 ед2; тк = 20 сек (а = 0,05 1/сек)

/V = 0,01 ед21гц.

Здесь ед - размерность входного воздействия.

Так как ТкТ, то воспользуемся выражениями (21-49) и (21-50):

/205 V 0,01

вое.мнн

05 31,7 1/сек;

10]/2-0,05-0,01 +

+ 100.0,05-0,1 0,81 ед2, или оБ2ос мин 0,9 ед2.

При таких данных

Е =- 1 -. 1 0.28.

2VtKvc

2У0,1-32

и переходная характеристика имеет слишком большие выбросы (см. рис. 21-27).

Если уменьшить величину помехи N или сделать управляющее воздействие более интенсивным, Kvout возрастет, £ уменьшится и переходная характеристика будет еще менее благоприятной. Значение о2 при отклонении Kv от Kvout меняется не очень резко. Так, если в данном примере

Kv уМеНЬШИТЬ ВДВОе ОТНОСИТеЛЬНО /Споит.

т. е. выбрать K =16 1/сек (тогда £ 0,4), то из формулы (21-48) при ТкТ получаем

71 + ТКу 0 1 + тк К0

1 + 0,1-16 16

=100 , - +0,01-:

1+20-16 2

= 0,81 +0,08 = 0,89 ед2.

ев* 1,6

1,2 1,0 0,6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 SO 55 БОги.

Рис 2169. Графики зависимости составляющих ошибок от эквивалентной полосы (для расчетного, примера). Пунктиром обозначена асимптота кривой управляющего воздействия.

Наглядное представление о зависимости составляющих внешних воздействий от эквивалентной полосы системы для рассмотренного примера (&F3 = Kv/2) дает рис 21-69. На графике нанесена асимптота, к которой стремится дисперсия ошибки управляющего

воздействия I

а на кривой Cw обоз-

значены соответствующие значения £. Можно было при нахождении параметров оптимальной системы поставить дополнительное требование к переходной характеристике, полагая, что величина £ при этом не меняется, а является заданной. Тогда оказалось бы, что

Kv и Т связаны соотношением £=

2 КГгС; этого равенства

Исключая с помощью

выражения для а2 величину Т и приравнивая нулю производную do2oc IdKv, находим оптимальное значение Kv и минимальное значение о20с. Полученная таким путем величина будет превышать ту, которая дается в выражении (21-50).