(30-10), (30-12). Плотность распределения случайной величины Т в соответствии с формулой (30-7) для экспоненциального закона равна:

/ (г) = %е-М = -i- е-*1т*. (30-44) То

Для экспоненциального закона надежности математическое ожидание времени безотказной работы (т. е. средняя наработка до отказа Г0) равно среднеквадрати-ческому отклонению с(. Поэтому равенство или близость значений 70 и a t, получаемых на практике, могут служить основанием для принятия в расчетах надежности экспоненциального закона.

Нормальное распределение

Нормальное распределение обычно применяется при оценке надежности элементов РЭА при их старении и изнашивании, а также разрегулировке, т. е. при оценке надежности РЭА по постепенным отказам.

Плотность распределения случайной величины Т (например, время безотказной работы), являющейся положительной, определяется выражением

(г-г )*

fit)

Со .

/2я~с<

при 0 < Г < оо,

(30-45)

где с0 - постоянная усеченного нормального распределения [находится из

условия с0[ fit)dt=l]; 0

Тп-средняя наработка до отказа; С( - среднеквадратическое отклонение случайной величины Т.

Величина с0 составляет:

сп =

\V2aJ

интеграл вероятностен

(см. т. 1, § 1-17).

Плотность распределения вида (30-45) представляет плотность усеченного нормального распределения *, поскольку при г = 0 значение f(t)=0. На практике, когда время безотказной работы может оцениваться с помощью нормального распределения, часто имеет место следующий слу-

* Усеченным нормальным распределением называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений случайной величины (при неусеченном нормальном распределении случайная величина может принимать любые значения от -00 до + оо).

чай: значение средней наработки до отказа То в несколько раз превосходит значение среднеквадратического отклонения с(. При

соответственно величи-

на с0 близка к единице. В этом случае можно пользоваться неусеченным нормальным распределением, положив в формуле (30-45) с0 1.

Показатели безотказности невосстанав-ливаемой аппаратуры при нормальном законе распределения находятся по формулам:

(30-46)

(30-47)

Логарифмически-нормальное распределение

При логарифмически-нормальном распределении времени Т основные показатели надежности представляются выражениями:

lg е

f(t)=-

X ехр

г/2л Ige2~

(30-48)

(4t-mXgtf

]/2с

(Igr - mXgt)

Pit)-

2[ \ У?Ьш

(30-49)

(30-50)

где tnigi=M\igt]-математическое ожидание величины lg t; v o igi - среднеквадратическое отклонение величины lg t,

lg e 0,4343.

Логарифмически-нормальное распределение используется для описания:

начального периода работы РЭА (периода приработки);

распределения отказов в группе однотипных элементов;

процесса восстановления сложной аппаратуры, ремонт которой производится в полевых условиях.

В последнем случае вероятность восстановления РЭА за- время t вычисляется по формуле

lg t - т

1+ф[

PB(t) =

(30-51)

Определение статистических значений migt и aigt не вызывает затруднений. Если имеются опытные данные из величин Ти Т2, -, TN времени безотказной работы (времени восстановления) N экземпляров РЭА, то можно найти:

SlgT;

Ч 1=1

з(*г1- **)я

Л -1

Гамма-распределение

Гамма-распределение может использоваться для описания характера изменения показателей надежности в период приработки .

Показатели надежности при гамма-распределении имеют вид:

К0 = --тттг- х

(тог )

(ft-1)! Ти-k-i

(30-52)

p(t>

or ,

(30-53)

(30-54)

где fe> 1 - параметр распределения;

A4[T] T 1 or = -jr- = -~ - приведенное среднее

значение случайной величины Т (время безотказной работы, время восстановления и т. д.).

При параметре fe=l гамма-распределение дает экспоненциальный закон.

Гамма-раслределение представляет собой плотность распределения суммы k независимых случайных величин, каждая из

которых распределена по экспоненциальному закону с одинаковым значением Гог = = 1Д [Л. 12]. Поэтому это распределение дает оценку надежности аппаратуры при не-нагруженном ( холодном ) резерве. Действительно, пусть имеется аппаратура, состоящая из k однотипных узлов (блоков), причем в каждый момент времени работает только один узел, остальные выключены (сохраняют свой ресурс). При отказе работающего узла включается в работу очередной узел (предполагаем, что автоматическое переключающее устройство делает это

Рис. 30-5. Кривые плотности распределения случайной величины для хи-квадрат распределения при различном числе степеней свободы.

мгновенно). При простейшем потоке отказов узлов время безотказной работы каждого из них распределено по экспоненциальному закону с параметром Г0г - средней наработкой до отказа каждого из узлов. Отказы узлов обычно события независимые. При этом время до отказа аппаратуры Т- k

= 2 Tj, где Ti - время безотказной рабо- =1

ты /-го узла, описывается гамма-распреде-ением и показатели надежности находятся по формулам (30-52) - (30-54).

Частным случаем гамма-распределения является так называемое распределение хи-квадрат, играющее известную роль при решении задач, связанных с оценкой параметров надежности (§ 30-10). Если в формуле (30-52) положить Г0г=2, a &=г/2, то получим плотность хи-квадрат распределения:

(30-55)

Г - j= - 1 jl- гамма-функция;

г-параметр распределения (число степеней свободы).

Формула (30-55) представляет собой распределение суммы квадратов г независимых случайных нормированных величин Xt, каждая нз которых распределена по нормальному закону:

Х2=ЕХ?(0<х2< ос).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины %2 составляют:

М[хЧ =/; Dfx2] = 2г.

В зависимости от числа степеней свободы плотность хи-квадрат распределения имеет вид, показанный на рис. 30-5. При числе г>30 хи-квадрат распределение практически совпадает с нормальным распределением.

Распределение Вейбулла

Распределение Вейбулла чаще всего используется для оценки времени безотказной работы механических систем с учетом их старения (изнашивания). В ряде случаев оно применяется и при оценке надежности нерезервированной РЭА, когда повторяющиеся в аппаратуре комплектующие элементы являются определяющими по отношению к времени безотказной работы аппаратуры в целом. Иногда распределением Вейбулла описывают распределение времени безотказной работы (по постепенным отказам) таких элементов РЭА, как электронно-вакуумные приборы, транзисторы и др. Так, например, работоспособность транзисторов характеризуется изменением во времени таких параметров, как /к, -параметров, -параметров (см. т. 1, § 9-6). Можно полагать,

Значения параметров

что случайные изменения параметров транзисторов есть слабо связанные случайные процессы. Если Ti - время нахождения 1-го параметра в пределах установленных допусков, то время безотказной работы транзисторов данного типа определяется соотношением

Т = min [Ти Тц, Ти .... Th],

где k - число параметров. При этом случайная величина Г распределена по закону Вейбулла.

Применительно к задачам надежности распределение Вейбулла может быть представлено в виде

f(r)=- -1ё-/тов, (30-56)

где Тов - приведенное среднее значение случайной величины Г; /г>0 - параметр формы распределения.

Если в выражении (30-56) положить k=\, получим плотность экспоненциального распределения.

Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение в распределении Вейбулла равны:

М [Г] = Тс = Г (-) TlBk; (30-57)

< (30-58)

Значения интенсивности отказов и вероятности безотказной работы определяют-*

Таблица 30-2 распределения Вейбулла