Минимизация ошибки при произвольной структуре

Синтез оптимальной системы. Будем считать, что на вход стационарной линейной следящей системы поступает управляющее воздействие xy(t) и мешающее воздействие xn(t), которые являются стационарными случайными функциями времени. Необходимо определить структуру и параметры системы, при которых дисперсия ошибки вос-. произведения достигает наименьшего возможного значения. Поставленная задача является более общей, чем минимизация при заданной структуре, поскольку здесь фиксируется только класс систем и характер внешних воздействий и определяются не только параметры, но и структура оптимальной системы.

Импульсная переходная функция g(t) физически реализуемой оптимальной системы определяется из интегрального уравнения [Л. 2-4, 6]

со ,

f g(t)Rx{t-%)dx-Rx iX(f)=0, t>0 (21-51) о y

g(t) = 0, г < 0.

Здесь Rx(t-т) - корреляционная функция полного сигнала на входе;

Кху- взаимная корреляционная функция полного входного сигнала x(t) и управляющего воздействия xy(t).

Учитывая, что

ЗС == %y ~Г П

для корреляционных функций запишем (см. т. 1, стр. 87):

Rx (т) = lim Г х (t) х (t + т) dt;

-Т Т

\,х ~2Y j * w xy (t + t) dt.

Если (как это чаще всего бывает на практике) случайные функции ху и хп статистически независимы, то

Rx (т) = lim -~ j* Ху (t + т) ху (t)dt + -т

+ j хп (г + т) хп (0 drj = Ry (т) + Rn (т);

-т ,

+ -МО] ху V + т) dr = Ry (т).

и интегральное уравнение (21-51), определяющее импульсную переходную функцию g(t) оптимальной системы, приобретает вид:

J gW[Ry(t - т) + Rn(t - T)idT-= и

- Ry (t) = 0, t>0.

Возможно и обобщение задачи [Л. 3], когда система должна осуществлять некоторое линейное преобразование управляющего воздействия ху, т. е. должна оптимальным образом воспроизводить желаемый сигнал

xm(t) =H(D)xY(t),

где Н £!>) - некоторый линейный дифференциальный оператор.

Ошибка воспроизведения в этом случае (рис. 21-70)

ввос = xK(t) -y{t) = H(D)xy -

-Ф(й) (Ху + Хи) = Ху (Я - Ф) - Фхи,

где Ф(Б)-передаточная функция искомой линейной системы, в которой минимизируется дисперсия этой ошибки:

xJt)

Рнс. 21-70. Схемы, иллюстрирующие образование ошибки воспроизведения.

с - желаемое значение выходной величины хж равно управляющему воздействию Ху; б - желаемое значение является функцией =H(D)xv-

Интегральное уравнение для переходной функции оптимальной системы в этом случае имеет тот же вид:

J g(T)Rx(t-t)dx-

Но здесь

(0 = 0, г > 0.

+ x)dt

- взаимная корреляционная функция входною сигнала желаемого, а не управляющего, как это было в уравнении (21-51).

В связи с этим можно искать оптимальную систему не только при #(£>).о=р s s#(p) = l, т.е. ху=хж (задача фильтрации), но и при других предположениях об Н(р), например, когда #(р) =eJ * °-, где fo>0, т. е. когда имеет место экстраполяция желаемого значения входной величины (задача статистического упреждения). Последнее означает, что система должна оптимальным образом предсказывать значение управляющего воздействия на время tD. . Вернемся к уравнению (21-51).

Решение этого уравнения может быть представлено в двух формах:

1. Комплексная передаточная функция оптимальной системы

Ф (/со) =-1-- Г е-1ш dt х

2пЧ (/со) J

X I -м--edco. (21-52)

- ОО

Здесь 44/<o)2=Sx(co),

4я* (/со) - функция комплексно-сопряженная с (/со);

S*(co)= J Rx{x) e-i dt

- спектральная плотность полного входного сигнала;

S*y,*(co) = J RXy,x(T)e-mdT-

- взаимная спектральная плотность входного сигнала и управляющего воздействия, причем

S*(co) - Sy(to) + Sn(co) + + Sy.n(co) + Sn.y(co);

sXrx(° = Sy(°>) + sy.n( >);

Sy, Sa - спектральная плотность управляющего и возмущающего воздействия; Sy.n(co), Sn.y(co)-взаимные спектральные плотности этих воздействий.

Если случайные функции xy(t) и Sn(f) статистически независимы, то выражения для спектральных плотностей упрощаются:

Si (со) =Sy(co) -r-Sn(co);

:Sy(C0).

2. Передаточная функция Ф(р) оптимальной системы определяется следующим соотношением:

Sv Лр )1

(21-53)

Ф(р) =

Здесь введены следующие обозначения:

- взаимная спектральная плотность управляющего и полного воздействия:

S*y,*(P > = Sv*(a)

(при этом р=/со);

- вспомогательная функция (р) (р=/со), определяемая соотношением

¥(р)¥(-р) = ЧЧ/со)2 = S (m),

где Sx (со) - спектральная плотность входного воздействия; - отношение [ ]+ означает следующее: функция комплексного переменного р = Р+/со разбивается на два слагаемых [ ]+ + [ ]-, так что полюсы одного из них [ ]+ лежат в левой полуплоскости р, а другого [ ] -в правой; в формулу (21-53) входит только первое слагаемое этой суммы.

Искомая импульсная переходная функция, удовлетворяющая исходному интегральному уравнению (21-51), определяется из полученных выражений (21-52) или (21-53) и связана формулой (см. стр. 17)

со --со

с передаточной функцией Ф(р) системы.

Минимальная дисперсия при этом выражается так:

- Ф (/со)р Sx (со)] dco. (21-54)

Из двух способов вычисления второй несколько проще. Однако если при вычислении интегралов (21-52) используется описанная ниже процедура, (см. [Л. 3, стр. 282]), то оба способа мало отличаются друг от друга.

Эта процедура состоит в следующем: а) По заданной спектральной плотности Oj (со) вычисляется функция Ч/со). Так как обычно Si (со) является отношением двух полиномов четных степеней, то Чг(/со) и 4?*(ja>) могут быть представлены в виде соотношений:

П(со-рг)

¥(/со) = с

П (со - yi)

(/со) = с

П(со + рг)

П (со + Гг) I

(с - величина постоянная).

б) Составляется отношение J ! . -,

(/со)

которое разлагается на сумму простейших дробей. Из всех членов этой суммы учитываются только те слагаемые, полюсы которых лежат в верхней полуплоскости, т. е

члены типа

со - bi

, и составляется сумма

ч/со) = У-V,

-Jco - bi

представляющая собой результат двойного интегрирования в формуле (21-52) (см. [Л.З, стр. 282]).

в) Находится искомая передаточная функция как отношение

Ф (/со) =

В (/со) i=x

со - bt

¥ (/со) ¥ (/со)

Пример. Найти оптимальную передаточную функцию системы, на вход которой поступает управляющее воздействие ху со спектральной плотностью

Sy(co)

2а2, ос а2 + со2

и мешающее воздействие, которое можно аппроксимировать шумом с постоянной спектральной плотностью Sn(co)=iV.

В данном случае хп(0 и xy(t) -статистически независимые случайные функции и

Sx (со) = Sy (со) + Sn(co); S (со) = Sy (со).

Воспбльзуемся изложенной процедурой, а) Определим W(ja>). Для этого запишем Ss(co) в виде

Sx (со) =

2aai

, + Л = -

2а2, a+N а2+Мо2

а2 + со2 а2 + со2

(л + / V~Na>) [а - j VNu) (а + /со) (а - /со)

где Л = у 2aal + Na2.

Поскольку Sx (со) = (/со) * (/со), то получаем:

d + /~ V со ¥ (/со) =-- и ¥* (/со) =

= ¥(- /со)

а + /со

,4 - jV N со

а - /со б) Составим отношение

Sy(co)

(/со) ¥* Ош) 2а2 а (а -* /со)

(а + /со) (а - /со) (л - / V n со) 2аап

Разложим это отношение на сумму простейших дробей. Это можно сделать различными путями, например используя метод неопределенных коэффициентов:

Sy (со) W* (/со)

= 2аа;

а+/со

= 2аао

Л -/УлГ со

Ma+jaM+LA-/ V N ab

(Л-/ V~n со) (а + /со) Отсюда получаем:

Ma + LA = 1; /соМ - / К лГю£ = 0. Таким образом, находим:

1 -

aVn +Л

Следовательно,

aY~~n +а

[A - iVn со) (а + /со)

Sy (со)

2аОп

Л-/Лсо +/ >J

Из двух членов в скобках только второй имеет полюс Si=co=/a, лежащий в верхней полуплоскости; другой полюс s2= Л

--/-rrr лежит в нижней полуплоскости. \С n

Отбрасывая первый член, находим:

2aOn

В(/со) =

aV N + A a + w

в) Составляем отношение В (До)/Ч7 (/со):

Ф (/со)

В (/со)

2ао£

a -[-/со [a+iV n со) (a + /со) 1

2ох>1

аУN + Л Л+/со К W

-. (21-55)

Вводя в рассмотрение время корреляции тк и подставляя в (21-55) это значение, получаем:

Ф(/со) = Кэ

1 + /соГ