блоков может заменить любой из основных путем автоматически осуществляемой перестройки. Интенсивность отказов основных и резервных блоков Я=0,01 1/ч. Найдем среднюю наработку системы до отказа.

Решение. По формуле (30-111) получаем:

Торез = - -1 . + -~т + -1 = 51 ч.

5-0,01 6-0,01 70,01

Для сравнения укажем, что средняя наработка до отказа нерезервированной аппаратуры составляет при условии примера всего 20 ч, т. е. скользящее резервирование в данном случае в 2,5 раза дает выигрыш в надежности (по среднему времени до отказа).

Случай скользящего резервирования (резерв ненагруженный, основные и резервные элементы равноиадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). В случае простейшего потока отказов элементов (число основных Л и резервных т) вероятность безотказной работы системы за время t будет равна:

(0 =

в1е-.,(30-П4)

Средняя наработка до отказа составляет:

Горез NX

(30-115)

Пример. При условиях предыдущего примера (т = 2, N=5, Я=0,01 l/ч) найти величину Гореа.

По формуле (30-115) получаем:

Торез = =60 *

50,01

Вообще говоря, выигрыш за счет отсутствия нагрузки на резервных элементах получился небольшой, что объясняется малым числом резервных цепей, и, следовательно, -небольшим временем нахождения их в резерве.

Случай скользящегь резервирования (резерв облегченный, основные и резервные элементы равноиадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). В случае простейшего потока отказов элементов имеем [Л. 13];

орез

N + ikp

(30-117)

где kp - коэффициент расходования ресурса [см. формулу (30-106)], Я.- интенсивность отказов элементов.

Пример. Для значений m--=2, N=o, Х=0,01 1/ч и &р=0,25 найти величину Г0рез. По формуле (30-117) получаем:

орез

=-Ч-

0,01 \ 5

5+1-0,25

:57Ч.

5 + 2-0,25/

Таким образом, по сравнению со случаем ненагруженного резерва уменьшение надежности при значении &р=0,25 получается небольшим. Следовательно, в данном случае применение облегченного резерва целесообразно, если он позволяет получить преимущества по сравнению с ненагруженным резервом (например, быстродействие).

Влияние времени работы на эффективность резервирования. При оценке надежности РЭА, имеющей резервные цепи, но необслуживаемой в процессе применения (основные и резервные цепи после отказа не восстанавливаются), важно учитывать продолжительность непрерывной работы аппаратуры, поскольку увеличение времени работы резервированной системы приводит к относительному снижению эффективности резервирования.

$5 Ц 0 2fi 2,5 3tS 4$

Ряс. ЗО-. Сравнение резервированной и нерезервированной аппаратуры при длительной непрерывной работе.

Ррез (0=

П (N + ikv)

х У. (4r- е~ (N+ikvW; (30-116)

N + ikv г-

i=o .

На рис. 30-27 представлены кривые зависимости надежности от времени непрерывной работы для трех случаев: аппаратура не имеет резерва; аппаратура дублирована при постоянном включении нагруженного резерва; аппаратура не имеет резерва, но спроектирована на уровне, когда значения средней наработки до отказа этой аппаратуры и дублированной одинаковы

(7опое=7одуби)- Кривые построены для случая простейшего потока отказов.

Рассмотрение кривых показывает, что при увеличении времени непрерывной работы значения вероятности безотказной работы в первых двух случаях при времени непрерывной работы г>47о (То - средняя наработка до отказа нерезервированной аппаратуры) оказываются настолько близкими, что практически уже не следует говорить о выигрыше в надежности (хотя, если не учитывать надежность переключателей, то количественно выигрыш по вероятности безотказной работы как раз растет при увеличении времени непрерывной работы). Поэтому при расчете надежности необслуживаемой аппаратуры длительного использования (например, аппаратура спутников Земли, некоторых радиорелейных линий связи и др.) следует рассматривать наряду с резервированием другие методы повышения надежности. Так, из графика на рис. 30-27 следует, что если, применив, например, высоконадежные элементы, изготовить нерезервированную аппаратуру с повышенной надежностью так, чтобы ее средняя наработка до отказа в 1,5 раза превзошла среднюю наработку до отказа обычной нерезервированной аппаратуры, то при длительной работе подобная аппартура может оказаться более эффективной, чем дублированная (см. пунктирную кривую).

Резервирование при восстаиовлеиии основной и резервных цепей

Надежность резервированной аппаратуры, которая в процессе эксплуатации подвергается профилактическим мероприятиям и отказавшие узлы аппаратуры восстанавливаются, может быть повышена по сравнению с надежностью необслуживаемой резервированной аппаратуры. При этом восстановление может осуществляться путем ремонта или замены отказавших цепей. Следует оговориться, что когда речь идет о восстановлении путем замены, то подобное восстановление иногда возможно и в случае необслуживаемой аппаратуры, например: при отказе ретрансляционного устройства ИСЗ, предназначенного для связи, это устройство может быть восстановлено путем запуска нового подобного ИСЗ.

В результате ремонта (замены) отказавших непей часто удается восстановить основную или резервную цепи до того, как произойдет отказ всех цепей. Поэтому резерв с восстановлением приводит к значительному повышению надежности по сравнению с надежностью невосстанавливаемой резервированной аппаратуры.

При решении задач резервирования с восстановлением широко используются методы теории массового обслуживания [Л. 23]. С целью иллюстрации применения данных методов рассмотрим один из случаев резервирования с восстановлением, поскольку из-за разнообразия задач, выдвигаемых практикой, очень часто не удается воспользовать-

ся готовыми формулами, а в каждом конкретном случае приходится решать задачи заново.

Дублирование при нагруженном резерве (основная и резервная цепи после отказа восстанавливаются). Имеется резервированная система, состоящая из элементов А и Б

Рис. 30-28. Схема состояний обслуживаемой дублированной системы в случае нагруженного резерва.

(элемент как обобщающее понятие может быть узлом, блоком, экземпляром аппаратуры), находящихся под рабочей нагрузкой. Предположим, что переключатели отсутствуют или абсолютно надежны, а потоки отказов и восстановлений элементов являются простейшими, т. е. время безотказной работы и восстановления распределено по экспоненциальному закону. Параметры потока отказов элементов составляют Лд и ЛБ, параметры потока восстановлений - соответственно МА и МБ. Поскольку потоки отказов и восстановлений простейшие, то Ад =

=4; ЛБ=ЯБ ; МА = На; мб = Р-б [см- Формулы (30-20) и (30-39)].

Прн простейшем потоке отказов и восстановлений весь случайный процесс работы и восстановления рассматриваемой резервированной системы является процессом без последействия, т. е. марковским случайным процессом. На рис. 30-28 графически представлена схема состояний (гипотез), в которых может находиться резервированная система. Линиями со стрелками показаны направления возможных переходов из одного состояния в другое. Сплошные линии соответствуют реальным переходам, при которых состояние системы является в большинстве случаев благоприятным, определяет безотказную работу системы (ио возможен переход н к неисправному состоянию). Каждый переход осуществляется с соответствующей интенсивностью отказов или восстановлений. Пунктирные линии указывают на возможные переходы, которые, однако, маловероятны или неблагоприятны. Поскольку вероятности соответствующих переходов определяются для небольших промежутков времени, то маловероятно, напри-

мер, ожидать, что одновременно откажут оба элемента (переход от Нв к Нз) или оба одновременно будут восстановлены (переход от #з к Но) - потоки отказов и восстановлений- ординарны Неблагоприятную ситуацию вызывает переход из состояния Hi в Н2 (или наоборот), когда элемент А может отказать, а элемент Б быть восстановленным. Действительно, в этом случае следует ожидать перерыва в безотказной работе системы (элемент А уже отказал, а элемент Б к этому моменту еще не восстановлен). Линии, замыкающиеся в одном состоянии, указывают на возможность сохранения в течение некоторого промежутка времени данного состояния.

Вероятность безотказной работы данной системы за время t равна сумме вероятностей благоприятных событий (в соответствии со схемой на рис. 30-28):

Ррез(0 = Ро(0 + МО + МО, (30-118)

где Ро(0 - вероятность того, что элементы А и Б работают безотказно (событие Но);

Pi(0 - вероятность того, что элемент А работает безотказно, а элемент Б находится в ремонте (событие Hi); г

Рг(0 - вероятность того, что элемент Б работает безотказно, а элемент А ремонтируется (событие Н2).

Для нахождения этих вероятностей необходимо проанализировать работу системы с учетом ее обслуживания. Так, для нахождения вероятности события Но найдем вероятность ро(£+ДО того, что в течение промежутка t, t+At элементы А и Б работают безотказно. Это может произойти при тех несовместимых ситуациях (способах):

1) в произвольный момент времени t оба элемента работали безотказно, а за малый промежуток Дг, примыкающий к t, ни один из них не отказал;

2) в момент времени t элемент А работал безотказно, элемент Б ремонтировался; за промежуток At элемент А не отказал, а элемент Б был восстановлен (произошел переход из Hi в #о);

3) в момент времени t элемент Б работал безотказно, элемент А ремонтировался; за промежуток At элемент Б не отказал, а элемент А был восстановлен (произошел переход из #2 в Но).

Вероятность появления события Но первым способом равна:

Ру= Ро(0 (1-М*) О-МО =

вер- вер. безотк.

безотк. работы а за работы время Ы

а и Б в момент t

вер. безотк.

работы Б за время Ы

= Р0(0[1-(яа + яб)л] .

Действительно, поскольку поток отказов простейший и последействие отсутству-

ет, то условная вероятность того, что элемент, работавший безотказно в момент t, ие откажет за промежуток At, составляет:

р (At/t) = Р (ДО = е~ш = 1 - Ш + , (лЛО*

= 1-Ш+0 (ДО,

где О (АО объединяет слагаемые высших порядков малости по сравнению с At (эти слагаемые при предельном переходе исключаются и поэтому для упрощения записей не включаются в состав промежуточных формул).

При простейшем потоке время восстановления распределено по показательному закону [см. формулу (30-33)] и, следовательно, вероятность восстановления элемента за промежуток At составляет:

1-6- = 1-1- +

где ц - интенсивность восстановления элементов.

Теперь составим вероятность появления события Но вторым способом:

(О и.БЛг =

= p,EArpi(0,

где pi (t) - вероятность нахождения системы в состоянии Н{ в момент времени t.

Вероятность появления события Но третьим способом:

Рщ = Pi (0 (1 - ЬБД0 =

= МаД2 (0,

где р2(0-вероятность нахождения системы в состоянии Н2 в момент времени t.

Итак, вероятность р0(г+Д0 равна или вероятности Pf, или Рц. или Рщ:

Po(t + ДО = Ро (0 [1 - (V + *б) д] +

+(1БД1 (0 + ЦАДФ2 (0- (30-119) Ро(г + А0-Ро (0

Составляя отношение

произведя предельный переход, получаем:

+ ИбМ0 + *аР2Ю- (30-120)

Для получения дифференциальных уравнений, характеризующих устойчивость нахождения системы в состояниях Нх и Н2, можно выполнить только что рассмотренные несложные операции. Однако подмечены закономерности дифференциальных уравнений