обслуживания и для их составления предложено правило марковских процессов [Л.6].

Правая часть дифференциального уравнения, характеризующего данное состояние системы при простейшем потоке отказов и. восстановлений, представляет собой алгебраическую сумму, равную числу возможных переходов, причем каждое слагаемое равно произведению интенсивности перехода иа вероятность состояния, из которого происходит переход; знак слагаемого определяется направлением перехода, т. е. если линия перехода уходит из данного состояния, то перед слагаемым ставится знак - , если линия перехода входит в данное состояние, то ставится знак + .

С учетом этого правила

! лБ р0 (0 -

-(*a + №)Pi(0;

(30-121)

-(Ьб + На)р2 - (30-122) Для решения системы уравнений (30-120) - (30-122) и нахождения, таким образом, значения Ррез(0 по формуле (30-118) обычно применяют преобразование Лапласа с учетом очевидных начальных условий: ро(г=0)=1; p,(r=0)=0; р2(г=0)=0. Процедура вычислений громоздка, но применяемые математические лриемы широко известны [Л. 5, 6, 13, 17]. Поэтому приведем окончательную формулу для вычисления вероятности безотказной работы за время t при условии, что элементы системы А и Б равноиадежны и однотипны:

Aye

-Att

Ai<e

Аг - Ai

(30-123)

- (за. + i =р Yx* + еяц+р-2);

-Л.ъ; Р = Ид = Рб

Однако в большом числе случаев важно знать среднюю наработку до отказа, являющуюся основным техническим показателем резервированной системы. Величина Г0 рез определяется значительно проще,

Чем Ppea(f)-

Интегрируя уравнение (30-118) в пределах (0, со), находим:

Го рез =Г0 + Л + Г2, (30-124)

(г) dt -; средняя наработка до

отказа системы в состоянии Но;

Тг = J Pi (г) dt - средняя наработка до отказа в состоянии Н{;

Га = j Рг (0 & - средняя наработка до о

отказа в состоянии Нг. Для определения значений Т0, Тх и Г2 проинтегрируем уравнения (30-120) - (30-122) в пределах (0, оо), учитывая указанные начальные условия. Получим:

-1=-(ЯА-г-Ч)7о+ 1 + Нб1+ На:

0 = Чтб~{Ч + а) Ti-

Решая систему уравнений (30-125) и суммируя полученные значения Г0, Tt и Тг в соответствии с формулой (30-124), окончательно имеем:

(30-125)

Го рез где

Д0 \ Аг %2 I

р-а h

(30-126)

р,Б ЯБ

л0=(*а+М- ч к .

\ - *-б + ia; \ - а + Б

Если элементы А и Б равноиадежны и однотипны (время восстановления в среднем одинаково), т. е. если л.д=ЯБ= К и рА= = {д,Б=ц, то формула упрощается:

Го рез -

(30-127)

Наработка на отказ дублированной системы составляет [Л. 13]:

! ср.рез

2Я + ц 2Я2

(30-128)

Наработка иа отказ не совпадает со средней наработкой до отказа, поскольку в отличие от потока отказов элементов поток отказов резервированной системы не является простейшим.

Коэффициент готовности дублированной системы с восстановлением равен:

и Гср.рез

ср.рез ~Ь Гв 1

(30-129)

fi (2Я + р.)

где Гв = 1/р. -среднее время восстановления. Формула (30-127) дает известное уже

значение Г0дубл = уГо, если исключить

восстановление (р,=0).

Пример. Передатчик имеет два равно-надежных высокочастотных генератора, работающих на одну и ту же нагрузку. Отказ

одного из генераторов не вызывает нарушения работоспособности передатчика. Каждый из генераторов размещен в автономном блоке, что позволяет производить ремонт отказавшего генератора, не выключая работающий. Определим среднюю наработку до отказа, наработку на отказ и коэффициент готовности высокочастотной части передатчика, если интенсивность отказов генераторов Я=0,01 1/ч, а интенсивность их восстановления р.=0,2 l/ч. По формуле (30-127) находим:

То рез -

3-0,01+0,2

1 150 ч.

2-0.012

Если бы данная аппаратура не обслуживалась, то средняя наработка до отказа составляла бы всего 150 ч (1,5 Г0).

Ясно, что надежность резервированной аппаратуры с восстановлением в значительной степени зависит от приспособленности аппаратуры к проведению проверок работоспособности и ремонта, а также от опыта и организованности персонала. Так, если в рассмотренном примере положить величину (х=0,05 1/4 то 7,ОРез=400 ч. Но даже при таком медленном восстановлении (среднее время восстановления составляет 20 ч) выигрыш в надежности по сравнению с необслуживаемой аппаратурой получается значительным.

Наработка на отказ в соответствии с -формулой (30-128) будет равна:

2-0,01+0,2

: 1 100 ч.

ср-рез

2-0,012

Вообще говоря, для практических расчетов в большинстве случаев - можно считать, ЧТО То рез=7 ср.рез.

Коэффициент готовности системы равен: К =-* -= 0,995.

2-0,012

0,2(2-0,01+0,2)

Это означает, что на тысячу подобных работающих систем в произвольный момент времени в среднем только 5 систем окажутся в неработоспособном состоянии, т. е. в данном случае готовность системы достаточно высокая.

Многократное резервирование при нагруженном резерве с восстановлением (основная и резервная цепи однотипны и равноиадежны; обслуживание неограниченное, т. е. отсутствует ограничение по количеству специалистов, обслуживающих аппаратуру; переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). В случае, когда кратность резервирования /п>1, составление и решение системы дифференциальных уравнений обслуживания усложняется. Имеется большое число работ, посвященных решению задач резервирования с восстановлением [Л. 6, 13, 17, 45-48]. При тех исходныхпредпосылках, которые были положены в основу изложенного выше решения задачи дублирования

с восстановлением, средняя наработка до отказа резервированной системы с нагруженным резервом может быть определена по формуле [Л. 48]

То рез -

£ + 1

(30-130)

где X - интенсивность отказов цепей;

ц - интенсивность восстановления цепей.

На графике рис. 30-29 в соответствии с формулой (30-130) показано, как изменяется выигрыш в надежности системы (пр

$ 10 11 12

Рис. 30-29. Выигрыш в надежности резервированной обслуживаемой системы с нагруженным резервом (без учета надежности переключателей).

средней наработке до отказа) в зависимости от соотношения хД и кратности резервирования. Из рассмотрения графика следует, что уже при двух резервных цепях и достаточно интенсивном обслуживании надежность системы может достигнуть практически абсолютного значения (с точки зрения удовлетворения предъявляемым требованиям). Следует только иметь в виду, что формула (30-130) получена из условия, что любая отказавшая цепь сразу же подвергается восстановлению.

При кратности резервирования 2 необходимо считаться с наличием ограниченного количества ремонтных бригад (специалистов). Так, при наличии одной резервной бригады (в частном случае одного специалиста) имеем:

о рез :

ml (т+1)!

(30-131)

Таблица 30-7

Расчетные формулы для восстанавливаемой аппаратуры, состоящей из N рабочих и двух резервных элементов

Случай j Показатель Значение показателя Примечание