2аоп

а а + аУ

У2тк al+n2xKal+ n +V n)

При W< 2т а2 К3~1.

При использовании второго способа поступают -совершенно аналогично. Находим:

s (р/я = sy (р ) + sn [pin =

2а2а /1-pf Л/ --- +W =-

Тогда

Т(Р) =

Т(-р) =

а - р

а+ pV~~N а + р

а + р V~N

а + р

a-pVn

Составляем отношение Sx...x(pu)

2смт2

*<-р) U-pVaO( + p)

которое разбиваем на сумму двух слагаемых []+ и [] , из которых первое имеет полюсы, лежащие в правой части комплексной переменной р, а второе - в левой:

Ч. <ю> J М L 1

--= 2aai -+- .

[а-рУТ а+р J

Слагаемое 2аа

°а + р 1Ч(-Р)\+

имеет полюс р=-а в левой полуплоскости; слагаемое

[ Т(-р)

А - рУ N

имеет полюс p=V W/Л в правой полуплоскости.

Учитывая второй член суммы, приходим к тому же результату, какой был получен по первому способу:

Ф(Р) =

2ао?

2ощЪ

А +р V~N 1 \

° (-4=1- (21 56)

У Л? +л \л + рУ N J

Структурная схема оптимальной синтезированной системы в соответствии с полученной формулой [(21-56) или (21-55)] имеет вид схемы на рис. 21-71, а и состоит из интегрирующего звена с передаточной функцией

V(p)=.-. /с = -.

охваченного единичной обратной связью, и дополнительного усилительного звена с коэффициентом передачи Кз<1- Здесь

к J а V 2о%тк + ЛГ

Т V N iKV~N

y(t)

x(t)

eftl

y(t)

Рнс. 21-71. Структурная схема синтезированной системы.

а - полная; б - приближенная. npHW 2TKo- (Кэя1).

Параметры оптимальной следящей системы зависят от уровня шума (TV) и параметров управляющего воздействия. Постоянная времени должна увеличиваться с ростом уровня шума и с уменьшением ширины спектра управляющего воздействия.

Минимальная ошибка воспроизведения может быть найдена из (21-54) или непосредственно подсчетом дисперсии ошибки воспроизведения.

Если положить Кв-1,-1- е. считать, что 1

Ф(р) =

-, то вычисление дисперсии

Тр+1

проще всего осуществить непосредственно по формуле (21-39) (стр. 70):

<4с.шш = ~ J 11 ~ (MP у (СО) dco +

оо оо о

( 1 Г 2асг£

+ N Jp-J-x

dco + naf3.

\jv> + K Отсюда получаем:

Г+тк 2Т

Ошибка тем меньше, чем меньше дисперсии шума и сигнала, а также чем больше тк- Последнее ясно физически: с увеличением тк входное воздействие становится более узкопояосиым , более сосредоточенным в низкочастотной области. В результате этого оптимальная полоса сужается, а минимальная дисперсия падает. При широкополосном шуме, когда тк<ЦТ,

ции Rx ( сигнала Rx)- равно Sx(a>), а функции R х х ( сигнала R х х) равно

Sx х (со), получаем:

5*у,А>) = ФвдОш)5Л >)

Расчет для приведенного ранее примера входных воздействий (стр. 79) ао=ЮО ед\ тк=20 сек, N= =0,01 ед*/гц дает: Г=3,16-10~-2 сек,

2 100-3,16-10~2 0,01

Sjc(CO)

В случае статистической независимости

Sy(co)

20 2-3,16.1(Г2

= 0,316 ед*.

Полученное значение дисперсии значительно меньше найденного ранее.

Синтез системы без учета физической возможности построения системы. Решение уравнения (21-51) находится очень просто, если снято условие физической возможности: g(t)=0 при t<0. Несмотря на то что получающаяся при этом передаточная функция не может быть реализована, рассмотрение решения уравнения при снятом ограничении представляет определенный практический интерес подобно тому, как это имеет место при рассмотрении прохождения импульсов через идеальный фильтр с П-образной амплитудно-частотной и линейной частотно-фазовой характеристикой (такой фильтр также физически невозможен).

Если при выводе уравнения (21-51) не требовать равенства нулю g(t) при t<0, то уравнение, определяющее оптимальную весовую функцию, будет иметь вид:

.Фид(/<й) =

Sy (со) + Sn (со)

Это и есть искомая передаточная функция без учета физической возможности.

Найденная передаточная функция физически невозможна в силу предположений, сделанных при выводе формулы. Это также следует из того, что правая часть последней формулы является вещественной функцией для всех частот -оо<со<оо,- поскольку фазовый сдвиг для всех частот равен нулю. Несмотря на гипотетический характер такой передаточной функции, можно говорить о ее приближенной реализации.

Физический смысл функции Фид(/со) можно иллюстрировать примером: Предположим, что спектральные плотности Sy(co) HSn(ct)) частично перекрываются. Для тех областей, где уровень помехи мал (SnC <CSy)¥ коэффициент передачи оптимальной системы близок к единице, т. е. сигнал передается почти без ослабления. Там, где велика помеха (Sn>Sv), Фид(/со) получается малым, т. е. входной сигнал сильно ослабляется.

Минимальное значение дисперсии ошибки воспроизведения выражается соотношением

g(-c)Rx(t - <c)dx = Rx (г).

Оно отличается от уравнения (21-51) тем, что нижний предел интегрирования заменен на -оо, \

Решение этого уравнения легко получить следующим путем. Из уравнения следует, что Rx х можно рассматривать как

некоторый выходной сигнал фильтра с весовой функцией g(t) при условии, что на вход этого фильтра действует сигнал Rx(t). Именно таким уравнением связаны входной и выходной сигналы фильтра. Спектральная функция (или преобразование Фурье) сигнала Rx х равна произведению частотной характеристики фильтра ФидОсо) с весовой функцией g(t) на спектральную функцию входного сигнала Rx. Следовательно, Фид(/со) и будет искомой частотной характеристикой идеальной оптимальной системы. Учитывая, далее, что преобразование Фурье корреляционной функ-

амин

и =2л I

Sy (со) Sn (со) Sy (co) + Sn(co)

Полученная величина представляет собой теоретически возможный минимум ошибки, которая всегда меньше, чем найденная выше минимальная ошибка (21-54) физически возможной системы.

Пример. Продолжим рассмотрение примера на стр. 79 и вычислим дисперсию ошибки по последней формуле:

БОС.ИД

2л J N (а2

W-2CWJ,

+ со2) + 2а а

-dco

а2 +

2с а N

Подставляя в эту формулу значения для рассматриваемого примера

0% = lOOed2; а = - = 0,05 1/сек;

получаем:

Л = 0.01 ед*/ей:, ; 0,158 ед2.

вое .ид

Найденное значение дисперсии в 2 раза меньше полученного ранее.

21-8. ДИСКРЕТНЫЕ (ИМПУЛЬСНЫЕ) ПРОЦЕССЫ И МЕТОДЫ АНАЛИЗА ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Основные понятия

Автоматические системы, характеризующиеся тем, что управляющие воздействия носят дискретный характер и поступают в систему не непрерывно, а периодически

I,-л-a- y ,

if---/--

у to

Рис. 21-72. Функциональная схема дискретной (импульсной) системы.

ж(г) - входное воздействие; y(t) - выходная величина; fit) = x{t) - y(t) - рассогласование; ИЭ - импульсный элемент; wH ч (р) - передаточная функция непрерывной части системы

в определенные дискретные моменты времени, разделенные паузами, называются дискретными или импульсными системами. Так, автоматические системы радиолокационных станций получают информацию только во время прихода отраженных от целей импульсов; в остальное время информация на вход не поступает.

В некоторых случаях даже при непрерывном поступлении управляющей информации в системе имеются устройства, которые преобразуют непрерывные сигналы в дискретные. Такое преобразование совершается всегда, когда в состав системы входит цифровая вычислительная машина. Выходные данные машины дискретны и квантованы по времени и величине (см. разд. 24).

Иногда в систему автоматического управления специально вводят устройство для преобразования непрерывных сигналов в дискретные. Это важно, например, в том случае, когда в состав системы автоматического управления входит многоканальная радиолиния с временным разделением ка-

налов (см. разд. 27). Сигналы управления такой автоматической системы разделены паузами, во время которых по радиолинии передаются другие сигналы.

Функциональная схема импульсной системы в большинстве случаев может быть приведена к виду схемы на рис. 21-72. Сигнал рассогласования1 f(t)-x(t)-y(f) с помощью импульсного элемента ИЭ преобразуется в периодическую последовательность импульсов ии.э, следующих с периодом Тп, модулированных по амплитуде или длительности сигналом f(t). В дальнейшем рассматриваются только импульсы, модулированные по амплитуде (см. т. 1, § 11-12). Импульсное напряжение Ыи.э сглаживается в остальных элементах системы (непрерывной части), которые описываются передаточной функцией Х7ш.ч(р). Непрерывный выходной сигнал y(t) сравнивается в измерительном элементе со входным сигналом x(t), в результате чего вырабатывается сигнал рассогласования f(t)=x(t) - -y(t). Если одиночный импульс описывается функцией s(t), то последовательность импульсов на выходе ИЭ можно записать в виде

и.9= Ц s (t - пТп) f (пТ ). (21-57)

Импульсный элемент удобно представить в виде двух устройств: б-ключа (fi-Кл), который также называют идеальным импульсным элементом, и формирующего устройства ФУ. Идеальный импульсный элемент (fi-Кл) преобразует непрерывную функцию f(t) в последовательность импульсов бесконечно малой длительности и бесконечной большой амплитуды (6-импульсов), причем площадь каждого из них равна значению f(n7,n) (n=0, 1, 2...) функции f(t) в дискретные равноотстоящие на период Тв моменты времени (т. е. для t=0, Гц, 2ТП ...). Иначе говоря, Ь-Кл преобразует непрерывную функцию f(t) в модулированную по закону f(t) периодическую последовательность б-функ-ций (рис. 21-73), которую можно записать в виде

Г (0 = / (0 Е 8 (*-пТп) = /(0 бг(о, где

бг(0=Цб(<- Тп).

Здесь звездочкой обозначена модулированная последовательность б-функции (рис. 21-73). Для получения f*(t) в неко-

1 Обозначение сигнала рассогласования fit) вместо принятого ранее z(f) изменено, для того чтобы не спутать сигнал рассогласования с параметром специального преобразования, которое используется при анализе импульсных систем (см. ниже).