торый момент г необходимо просуммировать все 6-функции, предшествующие рассматриваемому моменту. Тогда выражение для f*(t) можно записать также в виде

где величина k=[n/Ta] обозначает целую часть числа t/Ta,

Рис. 21-73. Сигналы в отдельных элементах функциональной схемы импульсной системы.

f (<) - сигнал рассогласования; f№n] - выборка значений f(() в точках пТп (п=0,1, 2, 3 ...) (решетчатая функция); в ) - функция - совокупность 6 функций в точках пТп (п=0, 1, 2 ...), каждая из которых обозначена стрелкой; f*(t) - модулированные по площади б-функции по закону f(t): ик.э~ Реальные импульсы, модулированные по амплитуде по закону /[пТ ], л=0, 1 ...

Для того чтобы сочетание рассмотренного 6-ключа с линейно формирующим устройством было эквивалентно импульсному элементу, формирующему устройству нужно приписать способность преобразования значений f * в ту последовательность импульсов с АИМ, которые имеются на выходе импульсного элемента ИЭ и каждый из которых описывается выражением s(t - -nTu)f{nTu).

Соответствующую этому требованию передаточную функцию №ф.у(р) формиру-

ющего устройства можно найти, если учесть, что на вход ФУ действует последовательность увеличенных в f(nTn) 6-функ-ций, а на выходе ФУ образуется последовательность увеличенных в то же число f(nTn) раз функций s(r). Так как передаточная и весовая функции связаны преобразованием Лапласа [соотношением (21-16), см. стр. 17], то

№ф.у(Р)= Js(r)e-**df. о

Если передаточная функция ФУ выбрана согласно этому соотношению, то на выходе ИЭ образуется последовательность импульсов (21-57).

Рассмотренное представление импульсного элемента оказывается весьма удобным с точки зрения анализа импульсных систем.

Остальные элементы автоматической системы, включаюшие усилители фильтры, цепи коррекции и другие неимпульсные элементы, объединены в одну цепь с передаточной функцией №н. [(р).

При анализе систем передаточные функции К7ф.у(р) и WB.4(p) объединяются в одну передаточную функцию

W(p) = Wjt,.y(p)Ws.4(p).

К аналогичной схеме можно во многих случаях свести автоматическую систему с цифровой вычислительной машиной. Результаты вычислений выдаются машиной автоматически в соответствии с тактом ее работ , что соответствует периоду Тп замыкания ключа.

Правда, результаты вычислений машины, кроме того, квантованы по уровню. Однако в большинстве практических случаев вследствие достаточно малого шага квантования с этой дискретностью можно не считаться, полагая, что выходная величина квантована только по времени.

Импульсные (дискретные) системы описываются уравнениями в конечных разностях, где аргумент (время) принимает только дискретные значения г=0, Тп, 2Тп; простой заменой независимого переменного вводят нормированное время t=t/Tu и достигают того, что аргумент t уравнения в конечных разностях меняется на целое число, т. е. принимает целочисленные значения 0; 1; 2...

Для решения линейных уравнений в конечных разностях удобно использовать специальный аппарат дискретного преобразования Лапласа (и его модификации). Дискретное преобразование Лапласа в теории импульсных систем имеет такое же значение, как обычное преобразование Лапласа в непрерывных линейных системах автоматического регулирования.

Наряду со многими другими особенностями в дискретных системах могут наблюдаться явления, не свойственные системам непрерывного регулирования. Так, например, при некоторых значениях параметров

переходный процесс в дискретной системе может длиться конечное время (конечное число периодов Гп); дискретная система, состоящая из одного интегрирующего звена (или интегрирующего и инерционного звена) при определенных значениях параметров может потерять устойчивость, в то время как непрерывная система аналогичной структуры всегда устойчива и т. д. Однако при некоторых условиях дискретные системы подобны системам непрерывного регулирования, когда дискретная система без больших погрешностей может быть заменена эквивалентной непрерывной. Условия, при которых такая замена возможна, рассматриваются на стр. 121.

Решетчатые функции, дискретное преобразование Лапласа и г-преобразование

Пусть f (t) - непрерывная функция времени (рис. 21-74,а), причем /(г)=0 прн г<0. Тогда совокупность значений {/(0), f(Tn), f(2Tu), f(nTu)}, являющихся вы-

та гт ЗТВ ЧТа STa втв

о. r г\ зт чт st бтп

л 6)

Чг 5Ttt

Рис. 21-74. Решетчатые функции.

f It) - исходная функция. Штрих-пунктирная линия соответствует другой функции (Pit), имеющей ту же решетчатую функцию; f[nTn] - решетчатая функция для fit) и <Р It); f[[n+ £)ГП] - смещенная решетчатая функция для fit)..

боркой этой функции в точках пТи ( =0, 1, 2...), называется решетчатой функцией (рис. 21-74,6) соответствующей исходной функции f(t): Решетчатая функция отлична от нуля только в точках пТп. Решетчатая функция обозначается f[nTu] или просто }[п].

Смещенной решетчатой

функцией f[ 7n+e7n]=f[i, е] называется последовательность /(еТп), f{Tn+eTn), f(2Тп+еГп), которая получается путем выборки значений функции f(t) в точках смещенных относительно точек пТп на величину части гТп периода Тп, т. е. в точках t=nTn+eTn, n=0, 1, 2... (причем 0=SS s£e<l (рис. 21-74,е).

Если задана функция однозначная f(t), то решетчатая функция f[ Tn] и смещенная решетчатая функция f[nTa-\-еТп] определены однозначно. Обратное положение при фиксированном е несправедливо: решетчатая функция не может полностью отобразить исходную функцию f(t), поскольку ординаты в промежутках между точками пТп (или п+вТп) при задании f[nTu] остаются неопределенными (рис. 21-74, а) и одной и той же функции цпТп] в общем случае соответствует бесчисленное множество функций f(t).

Для характеристики решетчатых функций вводятся конечные разности, представляющие собой приращение этих функций за период Тп и являющиеся в свою очередь решетчатыми функциями:

первая разность (разность первого порядка)

AfH =Ш + 1)Г ]- яг ];

вторая разность (разность второго порядка)

А2/[я] = Af[(n + 1)Т ]-Af[nTu]; r-я разность (разность r-го порядка) Af[n] = Д-*/[(п+ 1)г=1 -А-ЧТп] и т. д.

Каждая из разностей может быть выражена через значения решетчатой функции:

ЩпТЛ =/1(п + 1)ТП]-

-f№];

№flnTc\ = f[(n + 2)Tn]-~2fHn+l)Tn]+f[nTD];

: H(-1)V0.[( + -П],

(21-58)

1 Обозначением аргумента в квадратных скобках подчеркивается, что решетчатая функция определена только для дискретных моментов времени. Иногда для сокращения записи вместо flnTn+£T будем записывать смещенные решетчатые функции fin, в], опуская обозначение периода Та-

Еде С* - число сочетаний из т по v:

г \\(г - \)\

Процессы в дискретных автоматических системах описываются уравнениями в конечных разностях, куда входят функции {[пТп] и соответствующие разности

Линейные -разностные уравнения связывают искомую решетчатую функцию f[nTu] и ее разности с заданной решетчатой функцией (р[пТв\. Они записываются в двух формах.

Форма первая:

aoArf[nTu] + а-ЩпТп] + + + Д-1Д/[пТп] +arf[nTa] = ф[пТп].

Форма вторая:

brf[n + г)Г ] + + г - 1)ГП] +

+ ... + boflnTu] => фТп].

Для перехода от первой формы ко второй пользуются соотношениями (21-58). По второй форме определяется порядок г уравнения в конечных разностях.

Общее решение уравнения в конечных разностях складывается из общего решения однородного уравнения (соответствующего ср[п7 п]=0) и частного решения. Первое записывается в виде

/ [nTj = сЦ + Clс,Я? ,

(21-59)

где съ С2, .., ст - произвольные постоянные, определяемые с учетом начальных условий Я0]=Д f[Tn\=h,..., flrTnMr, а ки Ты,..., кг - кории характеристического уравнения:

ЪгТ? + br-ikr~l + ... + Ъв = 0. (21-60)

Частное решение находится методом, аналогичным методу вариации произвольных постоянных в теории линейных дифференциальных уравнений1 или методом неопределенных коэффициентов (см. т. 1, § 1-9, а также [Л. 24]).

. Процедуру нахождения решений уравнений в конечных разностях можно упростить, используя дискретное преобразование Лапласа и его модификации (см. стр. 97).

Спектры решетчатых функций. Спектральная функция s*(/co) решетчатой функции связана со спектральной функцией s(/co) исходной функции /(г), из которой образована решетчатая функция f[nTul соотношением [Л. 16, 14]:

1 \~Ч

s* (/<))=- >, s{/( + vcan)l-f-

V=s=-со

+ -/(0), (21-60а)

1 Формула (21-59) справедлива в случае отсутствия в уравнении (21-60) кратных корней [Л. 14, 24].

f(0) = -i-[ Иш f(e) + -Hm f(e)J

2 ео+

2л

юп = - 1 п

При f (0) =0

s* о = f~ ]s [/ (й}+V{0n)I

V=-со

Комплексный спектр решетчатой функции получается суммированием смещенных по оси частот спектральных функций огибающей на величину vcon (v=0 ±1, ±2...).

Для нормированных по времени функций, т. е. для функций аргумента t-t/Ta и/(0)=0,

со -

s*(/co) = YJ s[/(to+23w)];

V=-00

где со - нормированная частота: со=со7,п= =2л/Тп.

На рис. 21-75 изображено суммирование вещественных составляющих Res*(/со) спектра для двух случаев: когда ширина спектра сос (т. е. ширина кривой Re s на некотором уровне /) огибающей существенно меньше (рис. 21-75, а) и существенно больше (рис. 21-75,6) удвоенной круговой

частоты повторения импульсов 2соп=2-

Если решетчатый сигнал со спектром s* (/со) пропустить через полосовой фильтр с полосой пропускания, несколько меньшей 2соп, то для случая, соответствующего рис. 21-75, о на выходе фильтра образуется огибающая /(г). Отсюда следует, что сигнал с полосой сое более узкой, чем 2соП1 полностью определяется решетчатой функцией с периодом Гц, т. е. значениями, отстоящими на интервал, равный 2л/сод.

Это является еще одной иллюстрацией теоремы Котельникова (см. т. 1, стр. 95), согласно которой функция со спектром, имеющим ширину Д/с=сос/2я:, определяется конечным числом значений, отстоящих на 2 . 2 (2л)

время Дг= -- =-. Но период ТП

А/с с при соп>сос/2 будет меньше Д£ и, следовательно, функция /(г) полностью определяется значениями в точках пТп.

Так как для большинства сигналов, встречающихся в автоматике, максимум s(/co) располагается в области нулевой частоты, спектр решетчатой функции имеет максимумы на частотах, кратных соп.

Необходимо, далее отметить, что решетчатая функция не определяет исходную функцию полностью и спектр исходной функции в общем случае нельзя восстано-