вить, располагая спектром образованной из вания. Каждой решетчатой функции f[nTa] нее решетчатой функции. равенством (21-62) ставится в соответствие

Дискретное преобразование Лапласа, единственная функция F(z) комплексного

Дискретным преобразованием Лапласа

переменного z.

Рис. 21-75. Вещественные спектры исходной Re s/to) и решетчатой Res* (/ю) фуикпиЙ.

a - для й>с <2шп; б - для шс>2(0п, шс - ширина спектра исходной функции fit) иа уровне шп =2я/Тп-угловая частота повторения импульсов.

L*{f[nTu]} решетчатой функции f[nTu] называется бесконечная сумма

£* {/№]}=F* (р) =

== S f[nTa\e~n пр. (21-61)

Здесь р - некоторое комплексное переменное, р=а+/р, называемое параметром преобразования

Если для функции f[nTu] ввести безразмерное время г=г/Гп, то функция fpiTa] превращается в функцию целочисленного аргумента f[n], для которой дискретное преобразование Лапласа вводится соотношением

L* {/Jn]} = F* (д) - Е f[n]e-, п=0

где q=pTs.

Функцию f[n] и ее преобразование L*{f[n]} называют нормированными. Обо-

значая г=е =е , т. е. вводя такое преобразование комплексной переменной р (или q) запишем равенство (21-61) в виде

F(z)= *Е f[nTB]z~n, (21-62)

которое носит название г-преобразования решетчатой функции ЦпТш] и обозначается через Z{f[nTB]}. Следовательно, г-преобразованием решетчатой функции f[n7V называется бесконечная сумма (21-62), в которой г - комплексное число, являющееся параметром преобразо-

Аналогичными выражениями определяется дискретное преобразование Лапласа и г - п р е о б р а з о в а н и е для смещенных решетчатых функций (при фиксированных значениях ё):

F* (р.б) = £ / [(п+ е) Тп] е~р Т (21-63)

12=0

F(2,e) = Z{f(n + e)rn} =

= S /[( + e)Tn]2- s

где0<е<1. .

Последнее соотношение называется модифицированным г-преобразованием и обозначается также символом Ze :

F(z,e)=ZE {/(0).

Для большинства встречающихся в практике функций f(t) всегда можно выбрать такую величину a=cto, что при всех Rep>a0 ряды (21-61)-(21-63) будут сходиться абсолютно и равномерно.

В практике приходится встречаться с функциями, которые терпят разрыв в точках пТш (п=0, 1...). В этом случае (рис. 21-76) различают значения решетча- тых функций: в точках, разрыва

f{t)\t=nT =/[пГп1 = /(п,0); п

в предельных точках справа

f (0 \t= Hm f (п+ЕТ) ~

= f[(n,0+)Tn] = f(n,0+); в предельных точках слева

=*f[(n,0-)Tn[ = ffaO-).

В точках разрыва, где значения функции равны f(n, 0) (кружки на рис. 21-76),

ИЧ-1 WW

Рис 21-76. Разрывная решетчатая функция.

z-преобразование определяется обычным образом:

Z{f(n,-0)}=Z{/[n7n]} =

= Е f[nTn]z-n = F(z). (21-64) гг=0

Для модифицированного z-преобразо-вания Zt { f (г)} в точках разрыва справа и слева справедливы следующие соотношения [Л. 15]

z* {/ СО b-f-} =z{f (п,о+)}=*

= lim F(z,e) = F(z,0+); I

BO-J-

Ze {/40lo-}=2tf( ,0-)} = i F(z,e) = z-1F(z

F(2,e) = ZE {f(t)}

= 2-4imF(2,e) = z-1F(2,l), (21-66)

E->I-

Таким образом, г-преобразование в точке разрыва справа равно модифицированному преобразованию при е=0, а слева - произведению г-1 на модифицированное г-преобразование F(z, 1).

Существуют обширные таблицы г пре образований (дискретных преобразований Лапласа) и модифицированных г-преобра-зований (см., например, [Л. 14 и 16].

Наиболее употребительные модифицированные г-прёобразования и г-преобразо-вания функций приведены в табл. 21 9.

Одновременно в таблице приводятся обычные преобразования Лапласа F (р) исходных функций времени.

Дискретные преобразования Лапласа для нормированного времени получаются из таблиц .г-преобразований путем замены

г=е рТ при Тп=\.

В некоторых источниках модифицированное г-преобразование определяется как

Ge (г, e)=z~1 Е f(kT+eT)z~n и, следовала

тельно, отличается от приведенного выше (21-63) множителем г-1. Это нужно учитывать при пользовании такими таблицами [см. например, [Л. 16], имея в виду, что здесь ZE (г, e) = G(z, е)г]

Пример 1. Найти дискретное, преобразование Лапласа (г-преобразование) решетчатой функции ступенчатого сигнала f[nTn]=A (где А - постоянная величина), образованного из функции f(t)=Al(t) (здесь 1(г)-единичная функция).

Для дискретного преобразования Лапласа

L*[flrtTxA} = Е Аё~Пр ъ =

е- Гп+е-п+...]

= л [i +

Произведя суммирование, получим:

.-Р Гп

L* {f[nTn]} =/* (Р) = Л

е п- 1

F (г) = А-- .

Ряд сходится приг<>1, т.е. для Rep>0.

Пример 2. Найти г-преобразования решетчатой функции, образованной из единичной функции 1(г), которой в точке г=0 приписывается значение 05:

0,5, t = 0;

f (г) = j 1 , t > 0;

0 , t < 0.

Вычислим г-преобразования в точке t=0. По формуле (21-64) сразу получаем:

F(z) = Е Н Гп]г- = Д0)го +

+ ПТА г-1 +/[2ГП] г-г + = 0,5 +

0,5(z+l)

г -1

Вычислим г-преобразование функции W. 0+):

F(z)= Е/К ]г- [((Ч-)т + /[1]г-1 + Д2]г-2-т-..=

г -1

(2=0

Модифицированные -преобразования и z-преобразования функций