Если f(v)=0, v=0, 1, г-1> то аналогично предыдущему

Z{fl(n + r)TBl} = #F{z). 3. Теорема об умножении оригинала -опт

на е п(или исходной функции времени на e~at)

Если Z{i[{n+s)Tn\) -F(z, е), то z-npe-образование от решетчатой функции -апТ

е f[nTn], полученной из непрерывной функции ip(t) = e~atf(t), будет равно:

Z { е~апТ f [(я + е)] Гп} =

аТ е ( аТ \ = е п F [ге п, е).

В частности, при 8=0

z{e-anT4lnTnl}F(ze),

т. е. умножение аргумента на e~ai соответствует умножению показателя преобразова-

ния на е .

Пример. Найти z-преобразование от решетчатой функции, образованной из функции (p(t) =Ae-atsm at.

Образуем решетчатую функцию

(р[пТи\=Ае п sin юпТи. Используя формулу (21-67) для z-преобразования синусоидальной функции и теорему 3, сразу запишем:

Z UesineonTn)} =

ze sin to7n

г2 е2аТп 2еаТпг. cos wTn + 1

ге sin а>Т

г2-2е аГп г cos соГп + е 2аТ

4. Теорема о преобразовании разностей Для первой разности: 2{Д/[иГд]} = (z-\)F(z)-zf(Q). Для второй разности: Z{A*f[nTn]}= (z-\yF(z) - z(z-l)/(0)-zAf(0). Для третьей разности: 2{A3f[ rn]} = (z- \yF(z) -

-г(г - l)2f(0) -z(z- l)Af(O) -- zAf(O).

Для r-й разности: Z (Ar= (z - iy\F(z)-

- z (г - l)r-! f (0) - г (г - 1)MAF (0)

-z (z - 1) Ar~2 f (0)

- zAr- f (0) = (z - l)r F (г) -

~z E (г - i)r-v~1 Д? до).

В случае, когда f(0)=Af(0)=A2/(0) = - ... Ar i/:(0)=0, т. е. все разности до г-1 порядка включительно при п=0 равны нулю (нулевые начальные условия), формула (для / -й разности) принимает простой вид:

Z{MW}=(2-l)F(z),

В этом случае нахождение изображения от разности г-го порядка сводится к умножению изображения функции на (z-l)r.

Пример 1. Произвести z-преобразование линейного уравнения в конечных разнйстях:

apArfinrj + fljA-if [пТи\ + ... +

-f- aTf[nTn\ = (p[nTs] (21-68)

для нулевых начальных условий:

/[0] = А/[0] = Д2/[0] =

= ... = Д1-1/[о] = 0.

В соответствии со сформулированной теоремой получаем:

[a0(z- i)r-+fll(Z i)r-i+; + ... + tb\F{z) = Ф{г),

F{z) = Z{f[nTB]},

а Ф(г) = Z{(p[nTn]}.

Отсюда для z-преобразования искомой функции F(z) сразу находим:

Ф(2)

F(Z) =

a0(z-l)r+ai (г-iy-1 + + а

(21-69)

Для определения решетчатой .функции f[nTu\, являющейся решением уравнения (21-68), достаточно найти оригинал от (21-69).

Пример 2. Найти дискретное преобразование Лапласа линейно нарастающей функции ЦпТв]=КпТп. Для решения задачи удобно воспользоваться формулой определения разностей (21-58). Найдем:

Ы{пТп\ = К(п + 1)Тш - КпТв;

Д2/[ Гп] = КГП - КТв = 0.

Используя формулу о z-преобразованиях разностей, запишем:

Z{A*f[ ? ]} = 0 = (г- l)2F(z) -

-z(z- l)f(0)-zuF(0).

Так как f(0)=0, а Д/(0)=К7 П, получим:

0 = (z- l)2F(z) -zKTn,

откуда для искомого z-преобразования получаем:

Z{f\nTn]}F(z) = K

(z-l)2

5. Теорема об изображении конечной суммы Пусть

Z{f[nTu]} = F(z),

Тогда г-преобразование конечной суммы я слагаемых

Ч>[дГ 1= Е ,№ = /[0] +

+ f[Ta]+---+f\nTn]

равно:

ZMnTn]}=--:F(z) z - I

для г>1.

Пример. Найти г-преобразование суммы-. ф(и) Я0]+Я1]+ - +f[ti- 1], если известно, что Z{f[nrn]}=F(z)..

Дополним сумму членом f[ft], т. е. запишем:

f [0] + И + ...+ I [ - И + Я ] =

= <Р[я] +[ ] = ФЭД-

Применяя сформулированную теорему, получаем:

2{Ф[ ]}=2{ф[,г]}+2{П ]} = = 7ZTf (г) = 2{Ф[п]}+Г(г). Отсюда находим:-

Z {ф[ ]) = -~F (г) - F (г)=-Ц- F (г), г- 1 г - 1

Следовательно: п-1

2{SH=Tf(z)-

6. Теорема о начальном и конечном значениях решетчатых функций

По заданному z-преобразованию можно найти начальные (п=0) и конечные (п-*-оо) значения решетчатых функций:

а) Ит/[пГп] = HmF(z)

п-*0 z-a>

При f[0] = 0, f[T] = limzF(z).

г-*-со

При Д0] = /[Г] = 0, /[2Г] = == Нт z2F (г) и х. д.;

г-* со

(г -1)

б) f (оо) = Нт / [пТа] = Нт.- F (г).

П-9-СО Z-9-1 2

7. Теорема свертки

Если Z{/I[ r ]}=FI(z), гу4пТп)} = -Fz(z), то произведение г-преобразований двух решетчатых функций выражается как г-преобразование суммы

F! (г) F2 (г) =

= z {£ {/1[fer ]M( -fe)7n]} =

fe=0

= ZE {/хКл-й)]/,!*!}. (21-70)

Формула (21-70) называется сверткой решетчатых функций fi[nT ] и f z [ft7 n] - Таким образом, перемножению г-преобразований соответствует свертка функций.

Аналогично при ъфО

Fi(z, e)F2(z, е)= Z{ Е M(fe +

£=0

+ )Гп]Л[(п-Ь)Гп + вТц1} -

8. Теорема о связи преобразования Лапласа функции f(t) и z-преобразования функции f[nTu], образованной из f(t)

Если f [пТш] - решетчатая функция, образованная из функции }(t), имеющей преобразование Лапласа F{p)=L{\(г)}, то между F(p) и г-преобразованием Z{f[nTn]}=F(z) имеется следующая связь:

=[5724+

V=-оо

(21-71)

для ефО.

Приведенное соотношение позволяет, зная обычное преобразование Лапласа F(p), вычислять z-преобразование F(z, е) или дискретное преобразование Лапласа L*{f[nTu, е]}. При е=0 последняя формула справедлива лишь для непрерывных исходных функций. В случае, если при е=0 имеется разрыв,

V--со

- (21-72)

2 4- -

. Приведенные формулы имеют важное теоретическое значение, поскольку позволяют в принципе вычислять z-преобразова-ния достаточно широкого, класса решетчатых функций по известным преобразованиям Лапласа исходных функций.

Запишем преобразование (21-71) для функции1 нормированного аргумента г= = г/Гп:

L{f[n, e]} = F*(9, е) =

= S еС?+2 М F (9 + 2n/v),

V=-со

1 Заметим, чтоFiq)=-=r-F(alTn), где F(7/7n) =

-F (р) - преобразование Лапласа ненормированной функции времени f{t).

где q=pTn; здесь через F*{q, е) для краткости обозначено дискретное преобразова-. ние Лапласа, которое также носит название О-преобразования: (см. [Л. 14, стр. 1831):

F*(q, в) =D{FB(q, е)}.

Обратно, если известно модифицированное z-преобразование, то преобразование Лапласа исходной функции дг) определяется формулой

F (Р) = [Тп JF (z, е) е-рТ гйе]г=еРгп. о

Заметим, что, полагая в формул* (21-72) р=/со, получим формулу (21-60а), использованную при анализе спектров решетчатых функций (стр. 88).

Если преобразование Лапласа F(p) некоторой функции может быть представлено в виде двух множителей, один из которых

является функцией ерТа, т. е.

F(p) = F1 ( eprn)F2(p),

то z-преобразование функции, соответствующей F(p), находится из соотношения

Z{F(p)} = Fz)Z{F2(p)},

Fi(z) = F1{epT*)\ /7п=г.

Запись Z{F(p)} и Z{F2(p)} широко используется. Ее следует понимать условно в том смысле, что Z{F(p)} обозначает z-преобразование решетчатой функции f{nT }, которая в свою очередь получена из исходной функции времени f(r), имеющей преобразование Лапласа F(p). Сформулированное свойство является следствием формулы (21-72).

Использование z-преобразования для решения линейных разностных уравнений

С помощью z-преобразования сравнительно просто решаются разностные уравнения с постоянными коэффициентами.

Уравнение r-го порядка задано в первой форме (см. стр. 88).

a0&rf[n] + а1Д-1/[и1 +

+ ... +arf[n] = ср[,г] (21-73)

при начальных условиях

f[0] = h, Af[0] = h;

A2fl0] = П, .... Д-ЧЮ] = fr-,.

Подвергнем обе части z-преобразованию. Используя теоремы 2 и 3 (стр. 94, 95), получаем:

[au(z - \у + fli(z - ly-1 +

\ + ... + ar]F(z) = M(z) + zf0[a0 + ax -f

+ ... + Or-i] + z(z- l)fi[a0 + fli + 7-1248

+ ... + Cr 2] + Z(Z - l)2f2[Oo + Ci + + ... + Or-й + ... + Z(Z - 1)-г-1,

где M{z)=2foin)l

Отсюда определяется z-преобразование искомой функция

F(z)

М(г) R(z)

N(z) N(z)

Щг) - известная функция z, зависящая от начальных условий;

М (z) и N (z) - известные полиномы z.

При нулевых начальных условиях #(z)=0 и F(z)=M(z)/N(z).

Уравнение задано во второй форме (см. стр.88).

ЬгЦп + г] + br-if[n + г - 1] + .

+ ... + b0f [я] = ср[п].

при тех же начальных условиях, что и в уравнении (21-73).

Произведем z-преобразование обеих частей равенства, учитывая теоремы 1 и 2.

Тогда пвлучаем:

(Ъг<? -f ftr-iZ-1 + ... + 6o)F(z) = = M(z) + {brz* + ... + 6,2) f0 + 4- (brZr-* + ... + biZ)U + ... + bTzfr-u Следовательно,

h, , м (г) 1

+ Rz(z)h+---hR2(z)fr-1],

где Ri(z) - полиномы, стоящие в скоб-

ках перед fi\ M(z) и N(z)- известные полиномы z и Af(z)=Z{cp[ft]}.

Таким образом,

F(Z):

M(z)

N(z)

lv-l-

Заключительным этапом нахождения решения исходных уравнений является переход от г-преобразований к искомым функциям f[nTn] в выражениях для F(z).

Для этого производят разложение F(z) на сумму простейших дробей (ниже уточняется, когда справедливо такое разложение):

F(z)

VI V

~ Zj 2 - 2.

где zv-корни уравнения /V(z)=0, а * M(zv) N (zv) гг