Импутьсная переходная (весовая) функция инерционного звена

g(t) = Kae~at.

Соответствующая решетчатая функция

glnTn] = Kaf-anT . В соответствии с примером на стр. 93

z{elnTn]} = w& =

К Т

г - е Т

Тот же результат можно получить и из таблицы для г-преобразований. Из таблицы видно, что сигналу, имеющему изображение

-j-- соответствует г-преобразование

-аТ

, отсюда вновь следует наиден-

г - е

ное путем вычислений z-преобразование.

Для нахождения модифицированного г-преобразования запишем импульсную пе-, редаточную функцию для аргумента (п+е)Гп:

gKn + e)Tn}=Kae-a{n+E)\

Отсюда

B?(z,e)= Е Kae-aik+e)T z-k =

fe=0

aSTu+ e-°<1+E>7Yr г-1 +

-aET

Kae nX

X [l + e~aT г 1 + е- z-4 ] ==

-aET,

-aTn -1

- e z

Й7 (г, e) = /Са-

Пример 2. Найти импульсную передаточную функцию интегрирующего звена (рис. 21-29) W(p)=K/p. Импульсная переходная характеристика интегрирующего звена при К=1:

g(t) = \ и ё[пТв] = ЦпТп].

Соответственно

(z) .= Z {g [пТп]} = z~ = -у.

Тот же результат получаем, пользуясь таблицами г-преобразованин.

Изображению 1/р [ему отвечает функция времени f(t)=t] соответствует г-преобразование г/г-1.

Таким образом, W (г) = К

г- 1

Пример 3. Соединение инерционного и интегрирующего звеньев

w (р) = р(гр+1) = Wl (р) Wi (р)

W1(p)=-;- VF,0,) = L == 5 : р Гр + 1 р -f а

- 1

По табл 21 9

А

Следовательно,

f-M=

lp(P + a) /

z(l-e-°rn)

tF(z)=iC-

(z-l)

(z-l)(z-<Ta

Учитывая, что

z [U7i (р)} = к z{v.(p)} = -

г-1 z

-аГ

вновь приходим к заключению, что

Z {Wx (р) Wt (р)} Ф Z {Wt (р)} Z {W2 (р)} = Кг2

(г-1) (г

-аТ,

Пример 4. Соединение инерционного и интегрирующего звеньев с запаздывающим звеном (рис. 21-79,6).

Передаточная функция запаздывающего звена

W3(p) = е

где Уз = < 1 - относительное время

запаздывания.

Передаточная функция соединения инерционного и интегрирующего звеньев

- К а

W(p) =~ , . =к-

р (Тр + 1)

р (р + а)

имеет модифицированное г-преобразование (см. табл. 21-9):

ZE {W(p)} = W(z,e)-.

= Kz

г - 1

~asTn 1

Согласно указанному свойству (стр. 100) для получения импульсной передаточной функции с запаздыванием необходимо в последней формуле заменить е на 1-ys и умножить W(z,s) на г-1. Таким образом,

w- -K[~--

Г -+ 1)11

L (г-,)(г е-п) j-

Для вычисления импульсных передаточных функций пользуются также следующей формулой (см. [Л. 16, стр. 179]):

W(p) 1

W (z) = Res

Г Щр) j

Здесь означает все полюсы в левой полу- .. плоскости передаточной функции W(p), а . £ Res - сумму вычетов относительно всех k

полюсов функции, заключенной в квадратные скобки. Если W(p) содержит только простые полюсы, то последнее выражение упрощается и принимает вид:

w& = X-1 р Г Res (Pk),

где сумма вычетов распространяется на полюсы W(p).

Напомним, что для полюса первого порядка

4W(p)=,~)W(p)dp =

= lim(p - pk) W{p).

P-*pk

Для полюса n-го порядка

1 d -1

ReslF(p) =--- lim-- X

Pfe (n-1)! p-*Pk dp -1

Xl(p-pk)nW(p)].

Если, наконец, W(p) есть дробно-рациональная функция с порядком числителя не превышающим порядка знаменателя

М(р)

W(p) =

N(p) 1 М(Рк) I

(Pk) i 2-l g-Pfe7-П

Практически для получения Щг) обычно прибегают к разложению й(р) на сумму элементарных дробей, а затем берут 2-пре-образование от каждого из слагаемых.

Тогда при всех простых полюсах

М(рк) 1

fe=l

(Pk) P - Pk

При нулевом полюсе кратности / М(р)

(Р) =

plN(p)

Р Р2 +

(21-78)

Составляющим типа

соответству-

P -Pfe

ет модифицированное г-преобразование:

IP - Pfej

г - е

Составляющим Cilpi соответствуют следующие преобразования (см. табл. 21-9);

-С2Г4(г 1)2 + г-1 J

2г (е + 1) (г-1)2

Здесь имеется полное совпадение с тем, как находятся z-преобразования для решетчатых функций, являющихся соотношением двух полиномов (см. стр. 98).

-Пример. Найдем указанным способом еще раз импульсную передающую функцию W{z) для инерционного звена W(p) -

К а = ---- = К-;--, где а=1/Т, исполь-

Тр + 1 р + а

зуя формулу (21-78).

Так как Щр) имеет один полюс рь-=-а, то

Res W (р) = lim (р + a) W (р) =Ка -а р-*-а

W(Z):

К г

z - е т

что Совпадает с найденным ранее другим способом.

Импульсные частотные характеристики

Если в импульсной передаточной функции W(z, е) заменить z на еушТп, то получается комплексная импульсная (или частотная импульсная) передаточная функция:

W (г, е)г=е/соГп= X? ( /°Ч е) =

= Ы{еп,е)\е!аТ-Е\

Она характеризует прохождение синусоидальной решетчатой функции

ЦпТп] = Am sin [исоГп + срвх] =

образованной из исходной синусоидальной функции Ат sm(cor+9Bx), через фильтр W(j<£>). На выходе фильтра с импульсной передаточной функцией будет иметь место также синусоидальная решетчатая функция

У[пТп] = Bm sin [исоТп + фБЫХ] =

= Im е п е вых

(Im - обозначение мнимой части комплексного числа), причем отношение амплитуд

Ат [п, в]

равно модулю передаточной функции, а разность фаз

фвых- фвх = ф(соТп, е) равна фазовому сдвигу.

Следует иметь в виду, что решетчатые синусоидальные функции будут периодическими, если отношение периодов частоты со (т. е. т=2я/со) и Тп является отношением натуральных чисел тип:

ТП со m

Комплексная импульсная передаточная функция является периодической функцией с периодом Та, поскольку

Импульсной амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) называют изображение им-

пульсной частотной характеристики на плоскости и, jv, где

и (со, е) = Re W [ еаТ , е);

d(co, е) = 1ти7 ( еаТп , е).

Для каждого фиксированного значения е может быть построена своя импульсная АФХ

Часто бывает удобно строить амплитудно-фазовые характеристики для нормированной частоты со=со7 п Последние находятся из импульсной передаточной функции, записанной для нормированного аргумента z-е , где д=рТв.

Периодом нормированной передаточной функции является величина 2я, поскольку

W (еЛе) = В7 [е< +2я> ,е] .

Для построения импульсных амплитудно-фазовых характеристик по амплитудно-фазовым характеристикам W(j<i>) удобно пользоваться формулами

V=-со со

W ( е5,е) = Ц e/<°+2*v>e х

Xtn/(co+ 2nv)].

При построениии характеристик обычно можно ограничиться двумя слагаемыми, соответствующими v=0 и v=-1, т.е. принять, что

W { е%,е) и e/Se W (/ ) +

+е/(с°-2я)Еи7[/( -2я)], (21-79)

Заметим, что точно так же построение можно выполнить, не переходя к нормированной частоте. Периодом передаточной функции в этом случае является величина

Пример 1. Построить амплитудно-фазовую характеристику инерционного звена

К Ка

W (р) =-= ---.

w Гр+1 р + а

Из таблиц имеем:

I Ка 1

г- е

-аТ

Для нормированной передаточной функции запишем:

W(e*,e)=Ka f-a<Tm.