Соответствующие импульсные частотные передаточные функции

Кас~

V\-2e-a+e

1 - е~

-аеТ

1 ШГ

е п - е

(при со=0) до Ка-

(при со=я), а ар-

Рис. 21-80. Импульсная амплитудно-фазовая характеристика инерционного звена (нормированная).

Построим далее амплитудно-фазовую характеристику

W ( е/5,е) =u + jv= ре . После преобразований получаем: Кае-**

К 1 - 2е~а cos со + ё~2а

ё~а sin со ср = - arctg-- .

sin со

Для каждого значения,а при изменении со от 0 до п величина р убывает от

1 + е~а

гумент ср изменяется от 0 (при со=0) до -я/2 (при со=я). Соответствующие характеристики при Ка=\ и е=0 для различных значений а представлены на рис. 21-80. Они имеют вид полуокружностей с радиуса-

и центрами в точках (1-е~~2а)~~

вещественной оси. При а-0 полуокружность вырождается в прямую, начинающуюся в точке 0,5 действительной оси.

Пример 2. Построить импульсную амплитудно-фазовую характеристику системы по известной амплитудно-фазовой характеристике W(j(£>) непрерывной части системы (рис. 21-81, о).

Для построения воспользуемся формулой (21-79). Нанесем на характеристике точки с частотами coi, сог> со3 ... и отметим также точки со-2я.

Чтобы построить вектор ,mEW(/co) (ОгЦсоя), необходимо для каждого значения со повернуть вектор Щ/со) на угол., сое; в результате такого построения получается

характеристика e,aeW(}ta) (рис. 21-81,а).

Далее, учитывая, что в формулу (21-79) входят частоты со-2я, нанесем на полученную характеристику частоты 2я-соь 2я-со2, 2я-сог и построим векторы

0,(231-) w г/(2я - !)],...,

е(2я- )й7[/(2л - щ)],

et(srrfw[j(w3-22l)]

Рис. 21-81. Построение импульсной амплитудно-фазовой характеристики по амплитудио* фазовой характеристике И7(/ш).

сопряженные векторам eat 2,1 /[/(со,- -2и)]

Тогда для определения точки импульсной частотной характеристики, соответствующей частоте C0j, достаточно к вектору е)ЧйЕ W(jm) (точка А на рис. 21-81,6) прибавить вектор, комплексно-сопряженный

/(2я-£0-) -

с вектором е 1 W\](2n-сог)] (точка В).

Так, выполняя построение от точки к точке, получаем искомую характеристику (рис 21 81,6, кривая 2). Заметим, что вся импульсная амплитудно-фазовая характеристика пробегается при изменении частоты со от я (точка Е) до 0.

Импульсные передаточные функции с учетом свойств импульсного элемента

Изложенные выше положения относились к системам с 6-ключом. В импульсных системах используются импульсы различной формы и длительности. Они получаются в

Рис. 21-82. Образование прямоугольного импульсного П-ключа путем сложения двух смещенных разнопо-ярных единичных перепадов.

ность импульса: у=и/7п. В соответствии с (21 80) получим:

При использовании цифровых вычислительных машин важное значение имеет случай, когда у=1. В этом случае решетчатая функция (рис. 21-83, а) преобразуется в ступенчатую функцию (рис. 21-83,6). Формирующее устройство, осуществляющее такое

°> п ги

Рис. 21-83. Преобразования импульсов, осуществляемые экстраполято ром нулевого порядка.

а - вход; б - выход.

преобразование, называется экстраполя-тором нулевого порядка. Для такого экст-раполятора

ф.у(р) =

-ртп

= (1

г-i) - = -Р

г- 1 1

(21-81)

г р

Если, помимо того, экстраполятором еще вносится запаздывание на время т3, то

ф.у (Р) =

0-Р*з е 3 =

результате преобразования 6-импульсов в формирующем устройстве с передаточной функцией ISVy(p) (см. стр. 85 и рис. 21-72) Поэтому необходимо находить г-преобразования с учетом влияния формирующего устройства импульсного элемента.

Найдем вначале W\.7{p) для некоторых типовых импульсов на выходе ИЭ. В соответствии с выражением на стр. 86.

№ф.у (р) = Js(*) e~ptdt=

= L{s(r)}, (2180)

где s(t)-выражение для выходного импульса единичной амплитуды. Наиболее важное -значение имеют импульсы прямоугольной формы. Представляя каждый импульс единичной амплитуды в виде разности двух смещенных на время tn единичных функций (рис. 21-82), запишем s(r) = l(r)- -1 (t-\ТЯ), где v - относительная длнте/ь-

1 ~тзР

При достаточно коротких импульсах (\<С1) характер процессов в системе мало зависит от их формы, а определяется лишь энергией импульсов. Поэтому в случае очень коротких импульсов импульсы любой формы можно считать прямоугольными, для которых передаточная функция формирующего устройства выражается формулой (21-81).

При нахождении передаточных функций с учетом импульсного элемента определяют вначале общую передаточную функцию непрерывной части системы WB.4(p) и формирующего устройства, т. е.

W(p) = Н.ч(р)и7ф.у(р).

а затем находят импульсную передаточную функцию W(z), в которой уже учитываются свойства формирующего устройства. Если в свою очередь, Wa.4(p) представляют собой соединение нескольких звеньев Wi(p)W2(p) ... Wn(p), то импульс-

иую передаточную функцию W(z) находят от передаточной функции

W(p) = Wt.,V±{p)W,(p) ... Wn(p)

в соответствии с изложенными ранее правилами.

Для импульсов прямоугольной формы

W (р) =-W .4 (р) (21-82)

и схема с импульсным элементом, формирующим прямоугольные импульсы (П-клю-чом), может быть заменена схемой,с 6-клю-чом, у которой передаточная функция разомкнутой системы выражается формулой (21-82). При этом импульсная передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

z{r(p)} = zp}

2рн.ч(р) e-VPTJ

= W0(z)-z-iW0(z,s) Е=1 Т = = W0(z)-z-W0(z, 1-у).

Здесь через W0(z) обозначено z-преобразование от W(p)/p, а через W0(z, е)-модифицированное z-преобразование от W(p)/p. Последние соотношения записаны с учетом теоремы запаздывания.

Пример 1. Найти г-преобразование для фильтра WB.4(p) с экстраполятором нулевого порядка. Передаточная функция W(p) фильтра с экстраполятором

W(p)

WB.4Q})=

-рт \ WH.4(p) Р

Так как

рТ /гп ! 1-е р = -

н-ч(р) j

W(p) =

Используя свойство (21-77а), для z-преобразования, запишем:

W(z)

1 , f WB.4 (р)

(21-83)

Пример 2. Найти импульсную передаточную функцию для соединения интегрирующего и инерционного звеньев с экстраполятором нулевого порядка.

В соответствии с формулой (21-83) запишем:

W(z)

Z-l z f Ув.ч(р)

Обозначим:

W(p) =

W .4 (p)

p*(Tp + 1)

Представим W(p) в виде суммы простейших дробей, воспользовавшись формулами разложения, приведенными на стр. 102:

Р2 N(p)

р р2 р

Так как здесь М(р)=К; N(p)=Tp+l, то находим:

М (0)

с2 =

= -f-1 dp [Tp+1 JP=o

= r fC7 -j

!(гр+1)2 и=о A

Корень рз находится из равенства Тр+ + 1=0, т. е. рз= - -. Тогда

M(pk)

N(Pk)Pk Т

= кт.

так как 1=2.

Таким образом получаем:

р р р+т

z-преобразования простейших дробей известны. Получаем:

Z{W(p)}

+ кт-

кт

(г-1)2

- т

(z-l)2

- Vl - e r / (z-l)(z-e ~)

Заметим, что это выражение можно найти сразу в достаточно подробных таблицах