г-преобразований. Таким образом, окончательно получаем:

W (г)=К

r(l-e Г )

1е т

Пример 3. Найти модифицированную передаточную функцию для инерционного звена с экстраполятором нулевого порядка.

В соответствии с формулой (21-83)

W (г,е)

г -1

{р(Тр+ 1)1 [Кр{р + а) }

Поступая как в предыдущем примере, находим:

-MfJ-МтЫ-

В соответствии с табл. 21-9 (см. также стр. 101) найдем.

для полюса р=0 г-преобразование ---; для полюса р=-а г-преобразование

Pfe 1

г - е Таким образом

PkTn

г- е

Ze{Kpip + a)}~

Кге-аЕТ

г-1 г е-п г - 1

W(z,e) = K X

= К 1

-оГ

г -е п

-СЕТ

(г -1)е п

г - е

Пример 4. Найти импульсную передаточную функцию для соединения интегрирующего звена и ключа, формирующего импульсы прямоугольной формы (П-ключа).

Передаточная функция соединения ключа и интегрирующего звена

р2 р2 р2

Учитывая, что г-преобразование суммы есть сумма г-преобразований, находим:

Z{W(p)}=z{-j-

-zUe-n} = Zi+Zi. *Гпг

(г-1)2

Для получения импульсной передаточной функции звена К/р2 с запаздыванием Тз=\?п необходимо записать 1г {К/р2}, заменить е на 1-\ и умножить результат на г-1 (см. стр. 100). В результате получим:

* Lz -1 (г -I)2 Je=i-v

2 - 1 (г -l)2

Искомое г-преобразование:

т2 * Гп2

Z{ 7(p)}

Г, Гп2

~К[(2-1)2 (г-1)2

(21.84)

г -1 J г - 1

В случае экстраполятора нулевого порядка согласно формуле (21-83) запишем:

Z{W(p)}

г-1 ДТпг КГП z г - 1 г -1

(21-84*)

Тот же результат получается и из найденной формулы (21-84), если положить Y=l.

В данном случае замена экстраполятора нулевого порядка (т. е. П-ключа с длительностью импульса Тп) П-ключом с длительностью импульса уТп приводит к пропорциональному уменьшению коэффициента передачи системы (К\ вместо К). Физически этот результат легко объясняется тем, что выходная величина интегратора пропорциональна времени действия входного прямоугольного импульса.

Пример 5. Найти импульсную передаточную функцию для соединения инерцион. ного звена н ключа (П-Кл), формирующего импульсы прямоугольной формы (рис. 21-84). Поступим - аналогично предыдущему примеру. Передаточная функция

соединения ключа и инерционного звена (см. примеры на стр. 100, 105)

1 - е

Тр+1

р(р+а) Р(р + а)

W ~4(p)

П-Кл

8-Кл

Рис. 21-84. Приведение системы с П-ключом к эквивалентной системе с б-ключом.

о-исходная структурная схема;-б - эквивалентная схема с П-ключом; №ф у-передаточная функция формирующего устройства; Wn ч- передаточная функция исходной системы.

Учитывая, что z-преобразовання каждого из слагаемых будут соответственно (см. примеры на стр. 107):

Щ (z) = z{ft , А = { р(р + а) )

Г 2 2 I

I Р(Р+а) J

-яГ

2 -е получаем:

W(z) = Wx (z) + Wn(z) =

2-в-Д(1-у)Г 1

-аТ ~

2-е п J -a(i-v)rn 0гп

г - е

Импульсные передаточные функции замкнутых систем

Импульсная передаточная функция замкнутой системы определяется как отношение модифицированного z-преобразова-

ния выходного у[пТц] и z-преобразования входного л:[иГп] сигналов:

Y (г, е)

Для получения Ф(г, е) необходимо учесть связь между сигналом рассогласования f, входом х и выходом у (уравнение замыкания):

W) =X{t)-y{t).

Вид передаточной функции существенно зависит от места расположения б-ключа.

Схема с прерыванием сигнала рассогласования (рис. 21-85). Импульсный элемент выделяет из сигнала f(t) только его значения в моменты п7 п, т. е. можно записать:

f*(t) =x*(t)-y*(t), .(21-85)

в связи с чем находим

F(z) =X(z)-Y{z). (21-86)

Но, с другой стороны,

Y(z,e) = W(z, e)F(z) =

= W(z, e)[X(z)-Y(z)]. (21-87)

Полагая в последнем равенстве е=0, получаем

У(г) = W{z)F(z).

ё-Кл f*(t)

ytt)

Ф(г)

Y(z)

Рис. 21-85. Система с 6 -ключом в цепи сигнала рассогласования.

а - структурная схема; б - эквивалентная передаточная функция замкнутой системы.

Из (21-85) и (21-86) находим:

Х(2) К(2)=->-

к 1 v W(z)

Учитывая далее (21-87) и (21-88), получаем К(г,в) = 1Г(2,е)[х(г)-ГХ(2,]=

W(Z, 8)

= Т+¥(Г)Х{г)==ф(ге)Х{г) (21 89)

Y (г, е) W(z,e) - - --±- (21 -90)

Ф(г,е)=.

X{z) l+W (г)

Импульсная передаточная функция Ф(г, е) замкнутой системы выражается через импульсную передаточную функцию разомкнутой системы иначе, чем для непрерывных систем (см. стр. 43); только для случая е=0 выражения, характеризующие связь передаточных функций, замкнутых и разомкнутых, для импульсных и непрерывных систем совпадают, так как в этом случае

Ф(г)-.

Y(z,0)

W(z)

X(z) \+W{z)

Найдем передаточную функцию для ошнбкн (рассогласования) в замкнутой системе аналогично тому, как это имело место для непрерывных систем (стр. 43).

Рис. 21-86. Разрывная решетчатая функция с разрывами d в точках 7 .

Для этого подвергнем выражение (21-85) модифицированному z-преобразованию

F(г, е) = X(z, е) - У (г, е). Учитывая далее, что

У(г, е) == Ф(г, e)X(z),

получаем

F(г, е) = X(z, е) -

- Ф(г, е)Х(г). (21-91)

Ошибка зависит от величины е. Поэтому в импульсных системах следует говорить о передаточной функции для ошибки в определенный момент времени (при определенном е). Полагая е=0, из выражения (21-91) получаем равенство:

F{z) = Х(г)[1-Ф(г)],

которое позволяет ввести понятие об импульсной передаточной функции по ошибке:

У (г)

Х(г)

1+1FW (2Ь92)

Эта передаточная функция выражается так же, как для случая непрерывных систем регулирования (стр. 44). Заметим,

что все приведенные соотношения справедливы для случая, когда f (г) - непрерывная функция времени. С помощью последней этой формулы можно определять рассогласование в системе в тактовых точках пТш т. е. определять функцию flnTn].

Если функция f(f) имеет конечные разрывы dn в точках пТи (рис. 21-86), то Я(га+1)Гп]={/[(п+.е)7-п]}е=1 +dn. В этом

случае передаточные функции системы выражаются следующим образом:

Ф(2,е)= Ф(г) =

W(z,e)

\-\-z~lW(z,\) W(z)

для е=0; (21-93)

1 +z~l W(z,l)

для e = 0. (21-94)

а передаточная функция для ошибки (при

8 = 0)

Фг (г) =-г- (21-95)

/К) \+z-lW(z, 1) 1

Если передаточная функция W(p) представляет собой дробно-рациональную функцию, у которой степень числителя хотя бы на единицу меньше степени знаменателя, обе формулы (21-95) и (21-92) для простейшего экстраполятора приводят к одинаковому результату.

Система с выходом в промежуточиой-точке и импульсным элементом в цепи сигнала рассогласования (рис. 21-87). Для модифицированного г-преобразования сигнала е(г) получаем:

Е (г, е) = W1(z,e)F(z) =

(z, е) F* (p) I j

p= - In z

(21-96)

С другой стороны, для F(p) запишем:

F(P) = Х(р) - Y(p) =

= X(p)-W1(p)W2(p)F*(p).

Подвергнем г-преобразованию обе части последнего равенства:

F(z) = X(z) -ZiWWFiz),

откуда

X(z)

F(z)

l+Z{W1(p)W2(p))

(21-97).

Подставляя (21-97) в (21-96), сразу получаем:

W1(z,z)X(z)

E(Z, 8) =

1+ Z {WAp)W%(p)} Соответственно

(z)X(z)

E(z) =

1+2 {W1(p)W2(p)}

(21-98)

(21-99)

Система с возмущением П в промежуточной точке и 6-импульсным элементом в цепи сигнала рассогласования (рис. 21-88).