I) S-Кл

Рнс. 21-87. Структурная схема системы с 6-ключом в цепи сигнала рассогласования и выходом е(г) в промежуточной точке.

Рис. 21-88. Структурная схема системы с 6-ключом при наличии внешнего возмущения П в промежуточной точке.

Преобразование Лапласа выхода

У(Р) = W1(p)W2(p)F*(p) +

+ n(p)W2(p), (21-100)

F*(p) =X(p)-Y(p). (21-101)

Для z-преобразования (21-100У получаем:

Y(z) Z{Wi(p)W2{p)}F{z) +

+Z{n(p)W2(p)}.

Но так как, с другой стороны, в соответствии с условием (21-101)

F(z) = X(z) - У (г),

Y(z) =Z{W\{p)W2{p)}[X(z)~ + Z{n(p)W2(p)}.

Z {П W2) z [nw2]

урн +:

(21-102)

Отсюда Y (z) =

W l+Z{VtWt} l + W(z)

Здесь г-преобразование, заключенное в скобки, рассматривается в указанном выше смысле и, конечно.

Z{Il(p)W2(p)} n(z)W2(z).

Система с импульсным элементом в цепи обратной связи (рис. 21-89). Для преобразования Лапласа выходного сигнала получаем:

Е{р) = [X(p)-Y(p)]Wi{p) =

=X(p)Wi{p)-Y{p)W1{p).

После z-преобразования находим:

£(z) =Z{W4(p)X(p)}-

~Z{Y(p)W1(p)}.

Для исключения промежуточного значения Y(p) учтем, что

У(Р) = W2(p)E*{p).

Тогда

£(г) = Z{W,(p)X(p)} --Z{ 71(p)U72(p)£*(p)} = =Z{WtW2} - Z{W1W2}E{z).

Отсюда

Z{Wt W2}

Для модифицированных z-преобразова-ний находим:

Е (г, е) = ZE {Wx X} - ZE {YWJ = = ZE {WXX)-ZE [W1W2}E(z)= Z (Wi X)

(21-104)

3-КЛ

Рис 21-89. Структурная схема системы с 6 -ключом и выходом e{t) в промежу точной точке.

Большое число примеров преобразований структурных схем с различным расположением импульсных элементов содержится в [Л. 16].

21-10. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Дискретные переходная и импульсная переходная (весоная) характеристики

Выходной сигнал- системы у[пТШу е] может быть представлен в виде суммы двух составляющих: свободной уСв и вынужденной г/в. Первая из них определяется полюсами передаточной функции замкнутой системы. В устойчивой системе с увеличением п она стремится к нулю. Вторая зависит также от внешних воздействий. Для нахождения у[пТи] достаточно осуществить операцию обратного преобразования Лапласа от функции Y{z):

у\пТъ\ = Z-J{F(z)} =

= Уов[пТц] + ув[пТц].

Для нахождения обратного 2-преобра-зования пользуются формулами обращения или (если это возможно) разлагают Y(z) в ряд по отрицательным степеням z; тогда

коэффициенты этого ряда и будут представлять собой функцию у[пТп], т. е. давать значения выходной величины в дискретные моменты времени:

В общем случае для нахождения решения в любой момент времени можно использовать приведенные ранее формулы (стр. 102), причем здесь t

Уев [пТп, е]= £ Res Ф (г, е) X{z)zn~\

(21-105)

yB[nT , е] =

= Е Res Ф (2,8) X{z)zn~x, (21-106)

v-l Kg

где вычеты берутся относительно полюсов 2], 22, zr передаточной функции замкнутой системы в формуле (21-105) и полюсов 2, Ят 2-преобразования входного воздействия.

Обычно при определении переходных процессов ограничиваются нахождением дискретной переходной характеристики ft[/i7*n], т. е. реакции на единичную решетчатую функцию 1[/гТп], или дискретной импульсной переходной характеристики g\nTn\ равной значению весовой функции g(t) в моменты пТш.

Для 2-преобразования входного воздействия в виде единичной решетчатой функции имеем:

Z {1 [пГп]} = -5- .

2- 1

Отсюда получаем z-преобразование дис-, кретной переходной характеристики:

Н (z, 8) = ---Ф (г, 8). (21-107) г - 1

Обратное преобразование Лапласа этого выражения дает дискретную характеристику, которая определяется по формуле:

h[nTn, е] = Ф[1, е] -

JB(zv)(1-zv)

(21-108)

Здесь Ф[1, е] дает установившееся значение выходной величины (при /г-э-°о), a z являются полюсами передаточной функции замкнутой системы:

А (г, е)

Ф (г, е)=

6(г)

о,(s) + аГ 1 (е)z Ч-----Ир(8)z г

~ Ь+Ь, ! г-Ч- +h z-V-V+bo г-1

(21-109)

При расчетах вместо использования общих формул производят разложение функ-

ции Ф(г, е) на простейшие дроби, а затем переходят к обратному преобразованию, используя таблицы г-преобразований.

Иногда удобнее для определения h[nTn, е] разложить функцию Ф(г, в) по степеням г-11, что выполняется путем почленного деления числителя на знаменатель.

Из формулы (21-105) видно, что вид переходной характеристики определяется расположением полюсов импульсной передаточной функции. Комплексно-сопряженным и вещественным отрицательным полюсам zv соответствуют колебательный характер составляющих процесса, а положительным полюсам - монотонный характер. Если хотя бы для одного корня \zv >1, то процесс, расходится во времени и система получается неустойчивой (см. стр. 48). Это иллюстрируется табл. 21-10, в которой светлыми кружками слева показано расположение полюсов импульсной передаточной функции замкнутой системы относительно окружности на плоскости z=a+/P единичного радиуса и приведен характер составляющих переходного процесса.

Переходный процесс в импульсной си-стрме может иметь конечную длительность, т. е. в отличие от систем непрерывного регулирования полностью заканчиваться за конечное число периодов Тп. Можно показать, что это будет происходить в том случае, когда в полиноме знаменателя В (г) передаточной функции (21-109) все коэффициенты кроме bi равны нулю:

Ь0 = Ъу = ... = bt-t = 0; Ь[фО.

Тогда процесс длится п<1 периодов [Л. 14, стр. 464].

- Импульсная передаточная функция замкнутой системы Ф(г, е) представляет собой z-преобразование импульсной переходной характеристики, т. е.

Ф(г,е)=2{§[пГп,8]} =

: Е g[nTn, e]z

(21-110)

Зная g[nTn, е], можно найти реакцию системы на /нобое воздействие х[пТп\, используя формулу свертки (стр. 96), аналогичную интегралу суперпозиции:

у[пТп, 8] =

= Е g[mTn, e]x[n - т, 0]. (21-111)

гк=0

Для нахождения дискретной весовой функции g[nTB, е] удобнее всего разложить Ф(г, е) в ряд по убывающим степеням z,. например, путем деления числителя (2-109) на знаменатель. Тогда коэффициенты полученного ряда и будут значениями функции g[(n+e)TB]. Известен также способ нахождения дискретной весовой характеристики замкнутой системы по импульсной характеристике разомкнутой системы [Л. 14].

Таблица 21-10

Зависимость свойств переходного процесса от расположения полюсов импульсных передаточных функций

Расположение полюсов

У \ or

\1 а

( £\t g

-1 [

Характер составляющей переходного процесса,

Затихающий

I I м

в г г# jr т

Колебательно - затухающий

ЧТ t

Граница ycufoetiu

о т гта зт ит

Граница исг*е чивэс!пи

Лереходнъщ процесс omcymcmSyew

0 Ъ 2Т зт ч-та

Неустойчивей

I 1 Lu

о тл гтп зтл т

Продолжение табл. 21-10

Расположение полюсов

Характер составляющей переходного процесса

* zVO

Иеисгпайчийый

Колебательно- , затухающий >

Неустойчивый

гт чт t

% J зтп j

Пример. Найти дискретную переходную характеристику замкнутой системы с б-им-пульсным элементом и передаточной функцией непрерывной части системы

W(p).

р(Тр + \)

при Я=2 1/сек, Г=0,1 сек и Гп=0,1 сек для моментов времени пТп [Л. 16].

В соответствии с таблицей 2-преобразо-ваний находим импульсную передаточную функцию (см. также пример на стр. 101).

W(z)=

[l-e

(г-1) {г-е Г ) 2г (I - е-1)

(г- 1)(г- е-1)

1,262

г2 - l,37z + 0,37