Передаточная функция замкнутой системы для е=0

W(z)

Ф (г) = -

1 + W (г)

1,26г А (г)

г2 -0,11г+0,37 В(г)

(21-113)

Учитывая, что на вход воздействует единичная ступенчатая функция 1(г ), для г-преобразования дискретной переходной характеристики имеем:

Н (2) =

2- 1 1.2622

Ф\г)

(г - 1) (г2 -0,Пг+0,37) 1,26г2

г3- 1,11 г2 + 0,48г +0,37

. (21-114)

Наиболее простой способ определения h[nTn] состоит в делении числителя на знаменатель функции H(z). В результате находим:

Н (г) = 1.262-1 + 1,4г-2 + 0,92~3+ .+=

= S h[пТ ] г~п.

Отсюда сразу получаем (рис. 21-90, а):

h[Tu] = 1,26; Л[27п] = 1,4; h[3Ts] = 0,9...

Установившееся значение выходной величины, соответствующее п -* со, определяем по теореме о конечном значении (см. стр. 96):

ftycT = h (со) = lim h [пТп\ =

= lim---Я(г) = 1шФ(г) = 1.

z-*i г z-l

Таким образом, найдены значения решетчатой переходной характеристики.

Найдем ту же характеристику путем разложения на простейшие дроби (использованием формулы на стр. 111). Определим полюсы Ф{г). Из выражения (21-113) видно, что полюсы находятся из уравнения

г2 -0,11 2+0,37 = 0.

Отсюда получаем:

Zi = 0,05 + /0,06; г2 - 0,05 - /0,6.

, Найдем далее величины pv=cv+/6v, соответствующие полюсам zv, т. е. приведем -выражения, входящие в г-преобразова-ние выходного сигнала, к табличной форме.. Для корня 2i=0,05+/0,6, получаем:

0,05+ i 0,06 = /п ( ! + %).

Отсюда

cos Та рх = 0,05;

ЛГп8шГпр, = 0,6. В результате найдем:

а.Тж = -0,5; BiTn = -1,49

ш = -5; В4 = 14,9. Следовательно,

2i = е-°.1(5+г 4.Э),

Корень z2 сопряжен с корнем zl и, следовательно,

г2 = e-o-s-J i4,9)

Для упрощения дальнейших выкладок учтем, что при подстановке сопряженных значений zx и 22 вформулу разложения на простейшие дроби (21-108) перед сопряженными комплексными числами е-°5+н и е-о,н5-зи,9) будут сопряженные комплексные коэффициенты u+jv и и-jv, так что < сумма в выражении (21-108) имеет вид:

(и + jv) еа+Р + (и - jv) ea~p =

= 2K[ cosB - w sin В].

Здесь через а и В обозначены:

а = - 5 пТп; В = 14,9 пТп,

а и и v находятся из равенства, полученного в результате подстановки корня Z\ в выражение

Г A jz) I = 1.261 =

\В(z)(z - 1) b (2% -0,H)(zi -D

1,26(0,05 + 0,6/)

- (0,1 + 1,2/ - 0,11)(1 - 0,05 - 0,6/) -= и + jv.

После простых преобразований находим:

и = -0,476; v = 0,3. Следовательно, для h[nTn] получаем:

h\nT i= 1 - e-s rn[cosl4,9/irn - -0,52 sin 14,9/гГп].

Необходимо подчеркнуть, что эта формула отображает функцию h[nT ] в дискретных точках ntn. Давая значения п= = 1, 2, 3..... получаем:

й[1]= 1 -e 5rn[cos И.ЭГп - - 0,52 sin 14,97\,] = ! - 0,606 (0,08 - - 0,52-0,99)= 1,264;

h [2] = 1 - е-107 {cos 29,8Тп -

- 0,52 sin 29,8ГП] = 1 -

-е-1 (cos 2,98 - 0,52 sin 2,98) = 1,4

и т. д., что совпадает с найденным ранее (рис. 21-90, а).

Пример. Найти импульсную переходную характеристику замкнутой системы, со-

стоящей из экстраполятора нулевого порядка и инерционного звена.

Импульсная передаточная функция замкнутой системы

Ф(г, е)=-

l+W(z)

(21-115)

0,8 0,6

-.--/

h[i]

Aft/

e г з # s

Рис 21-90. Импульсные переходные характеристики.

с -для примера 1; б - для примера 2.

где импульсная передаточная функция (см. пример 3 на стр. 107)

Г (г-1)е-аеТп1 W(2,e)~K\ 1-- (2М16>

Подставляя (21-116) в (21-115), находим: ,г(1-й-п) е-п+в-п

е-а7п + К[1-е-аГп]

(21-117)

Ф (г, е) = К

Единственный полюс передаточной функции

г = г1 = е-аГп К[1 е-п]

отличен от нуля. Следовательно, hfnTj е] = Ф[1,el-

При этом

иУст= Umh\nTn, е] = Ф[1, е] =

(l e-n)(K + 1) К+1

и от е не зависит.

Доведем пример до числового результата, задавшись определенными значениями Тш, Т и К.

Примем, что

у = аГп = 0,5; К = 2,5.

Тогда

2l = е-°-5 - 2,5(1 - е-0-5) = -0,38; A(zi,e) = K[z1{l-e-aBT )-e- rn + + е~агЦ = 2,5 (l ,38 е-°.5е - о,9в);

flW-l:*[l.-]-g-0.7I;

ftfn, е]=0,71+(1,78-2,5е-°-58)(-0,38f.

Переходный процесс имеет вид затухающих колебаний (рис. 21-90,6, кривая /). Не представляет труда, задаваясь величиной Тш построить эту кривую в натуральном масштабе времени как функцию (п+ .+е)Тп.

Найдем для данного примера условия, при которых процесс установления имеет конечную длительность.

Для этого представим передаточную функцию как отношение полиномов, расположенных цо убывающим степеням z:

Ф(г, е) =

К (1 е-°ЕГп)+г-1К [ g-°Ve-n] 1+г-1[ е-п + К(, -Гп)]

Тогда условие конечной длительности процесса будет состоять в выполнении равенства (см. стр. 111)

-е-аТ + к[1-е-аТ )=0,

откуда для К находим:

е аГп 0,6

При этом процесс длится ровно один период Тп. Так как в этом случае Ф(г, е) легко представить в виде разложения по убывающим степеням z (это разложение содержит всего два члена)

Ф(2, е) = cio + alz-,

l -S.T л

то, сопоставляя это разложение с формулой (21 110), приходим к выводу, что

g[0, el = ао; g[l, е] = а,;

g[2, в] = 0; g[3, е] = 0 ...

Так как п[пТл, е] и g[nTn, е] связаны соотношением (21-74), то получаем:

h [0, е] = ар, ft [1, е] = g [0, е] + g [1, s] =

= а0 + аг = К [l - е аТ \ = ftycx = 0,6.

Установившееся значение hyCi легко также найти из равенства

К :#[l- -a7V=0,6.

йуст=Ф[1,Е] =

Соответствующая Импульсная переходная характеристика изображена на рис. 21-90,6, кривая 2.

Установившиеся режимы. Коэффициенты ошибки

Большой практический интерес представляют вынужденные режимы в импульсной системе, наступающие после затухания свободных движений в устойчивой системе под действием входного сигнала. Решетчатая функция вынужденной составляющей выражается формулой

Ув[пТп] = S g[(m+s)Tn) х[(п - т) Гп],

где g[(m+e)Tn] - дискретная весовая функция замкнутой системы, а х-входное воздействие.

По отношению к установившимся режимам импульсные системы, как и системы непрерывного регулирования, делятся на статические и астатические с астатизмом 1, 2, 3-го порядка и т. д.

Будем рассматривать установившиеся режимы в системе для моментов замыкания б-ключа (т. е. при г=пГп). Тогда 2-преобразование сигнала рассогласования:

f (2) = x (z) - y (г) = , *(г)- .

w 1 + W (г)

Установившееся значение ошибки находится по теореме о конечных значениях (см. стр. 96)

fyc? = Hm f (г) = lim- * (f (21-118) f-со г-i г 1 + W (г)

Для характеристики установившихся режимов на вход системы удобно подавать входные сигналы типа x(t)=atr, где г=0 для статической системы, г=1 для системы с астатизмом 1-го порядка, г=2 - для систем с астатизмом 2-го порядка и т. д.

Статическая система не содержит интегрирующих звеньев, т. е. передаточная функция W(z) не имеет полюса в точке z=l. При подаче на вход сигнала x{t) = 8*

= 1(г)Л (Л постоянно), имеющего 2-преобразование

X(z) = Z{x\nTn\}= - A, z - 1

для установившейся ошибки в соответствии с формулой (21-118), получаем:

z-l г , fycr = lim / (0 = lim--- А X

.2 2 - 1 А

1 + W (г) 1 + W (1)

(21-119)

Поскольку функция W(z) при 2 = 1 не имеет полюса, lim W(z)=K, где К - конечная z- l

величина и

fycT = -nt> (21-12°)

т. е. действует такое же положение, как в системах непрерывного регулирования: статическая ошибка системы составляет (1+Я)-ю долю входного воздействия.

Система с астатизмом первого порядка содержит одно интегрирующее звено, т. е. W(z) имеет однократный полюс в точке 2=1. Передаточная функция системы мо-

i(z)

жет быть представлена в виде W(z) =--

где знаменатель выражения Wt (г) не содержит в качестве сомножителя члена (г-1), и lim Wi(г) = Wi(l)=Kv - конечная величи-z-1

на. При входном сигнале типа А1 (г) ошибка установившегося режима

,. z-1 г А fycr = m--Г- . . = 0

z-1 2

1 l , Wl(2) 2-1

При линейно нарастающем входном сигнале х (г) =vot (vo=const) установившаяся ошибка

уст

.. ЩТП 2(2-1)

: hm-:

г-i (г-l?W(z)

v0Tn v0

(21-121)

есть величина постоянная (Рп = \1Тл- частота прерывания). Как и в системе непрерывного регулирования, в системе устанавливается скоростная ошибка, обратно про порциональная коэффициенту передачи по скорости

Kv lim Wt (z) = lim (г - 1) W (г). (21 122) z-l z-1

Система с астатизмом второго порядка

имеет два интегрирующих звена, и при наличии б-ключа передаточная функция разомкнутой системы W(z) имеет в точке 2=1 двукратный полюс, т. е.

W (г) = ,

W (2- I)3