a lim Wa(z)=Ka- величина конечная.

При входных воздействиях типа A\(t), Vat установившаяся ошибка fyCT=0. При входном воздействии типа а0£2/2 имеется ошибка по ускорению

/уст - ао.

(21-124)

ИМ1) Ка

Величина Ка называется иногда коэффициентом передачи по ускорению, причем

Я0 = Нт[(г -1)2п7(г)]. (21-125)

Можно сформулировать следующее правило: астатизм r-го порядка достигается, если передаточная функция замкнутой импульсной системы при z=l обращается в единицу, а производные этой функции по 2 (при z=l) до г-го порядка обращаются в нуль.

В общем случае, как и для систем непрерывного регулирования, установившаяся ошибка выражается рядом

fycT[nTn] = с0 х\пТп\ + сг х 1пТя] +

+ -х [пГп]+-.+

+ -х [пТп], mi

(21-126)

где величины с0, Ci. с2 называются коэффициентами ошибок. Они, как и в непрерывной системе, могут быть выражены через передаточную функцию ошибки

Ф/(2) =

по формуле

I + W (г)

йтФ*Лр)

(21-127)

Ф)(Р) = Ф, (2)г=>Гп.

Коэффициенты ошибок могут быть найдены также путем разложения передаточной функции Ф/(г) в ряд по степеням (l-z- ):

Ф/(2) =fco + bi(l-2-1) +h2(l z-)*-b -f ... + М1 - 2-)т + (21-128)

где Ьт связана с коэффициентами ошибок соотношением

с = т\ Ьт Т

(21-129)

Необходимо отметить, что полученные соотношения справедливы лишь для моментов времени, соответствующих замыканиям ключа (т. е. для е=0), и дают хорошее представление о поведении системы в установившемся режиме только в том случае, если пульсация в интервалах

между импульсами невелика. Формулы для вычислений ошибок при е=э0 имеются в [Л. 14].

Пример. Найти коэффициенты ошибок для системы, состоящей из инерционного и интегрирующего звеньев с коэффициентом передачи /( =2,5; 7,П/Г=а7,п = 0,5; Ти= = 0,1 сек [Л. 16 (стр. 310)].

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы (см. пример 5 на стр. 101)

В?(г) =

Ky(l- е аТ )г (2-1) (г -е~°Гп)

где а = 1/7/.

Так как в точке 2=1 имеется однократный полюс, система будет обладать астатизмом первого порядка и должно выполняться условие с0=0, а с1=7,п/Я .

Для вычисления коэффициентов ошибок запишем передаточную функцию по ошибке

0f (2) =

1 -f W (2)

(г - 1) (г - е~аТ )

=>-1)#,(Z), (21-130)

Rf(z) =

-аТ

(2-1) {г-е aT )+Kvz [l-e °Гп)

Подставляя вместо г величину ер7п, находим:

Ф(Р) = {еРТп-1)(р); R*f (Р) =

Г--е~аТ-

Тогда й Ф*

Л=0 = Г (0)=:

= Т. Учитывая, что

dR. (0)

TnRf + ~dV~

Т1 Kv

Rf (0) =

dR* dp

ТперГ {е2рТ -ерГ $ + а\ [e*pTn-epT V + *Y (ерТп-а) (2Гпе2рГ -ГпРерГп)

(l-P + g)-(l-g)(2-P)

(1-0 + 00

а = е-°гп; Р=(1+е-СТп) Кщ(1-е-аГп).

После подстановки числовых значений находим

a = е-0-5 = 0,6; Р = 1 + 0,6 - 2,5(1 - 0,6) = 0,6; dR*.

Ч dp

= 0,44ГП

d2R*f

dp*-

= 0,1

М + 0.044].

0,044.

Таким образом, с0 = 0; сх

0,04; с2 = 0,044

К0 2,5

И ЦпТж]Уст =

=0,04 xlnTu] + 0,022 х [пТп] + ...

Если задать л: (г) как линейно нарастающую функцию времени x(t)=v0t, где Vo - скорость нарастания входного сигнала, например г)0=5 l/сек, то

x[nTu] = 5nTn; x(t) =v0 = 5; x (t) = 0 и

f[nTn]yct = 0,04-5 = 0,2.

В системе устанавливается постоянная ошибка, равная 0,2.

21-11. УСТОЙЧИВОСТЬ ИМПУЛЬСНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Критерии устойчивости

Линейная импульсная система автоматического регулирования является устойчивой, если свободные колебания в системе с течением времени затухают, т. е.

lim у№ [(п + е) ТП] =0 (21-131)

для всех е(0е<1).

Если хотя бы для какого-нибудь е

lim у№ [(я + е) Тл] =<х>, (21-132) то система будет неустойчивой.

Возможны случаи, когда указанный предел является конечной величиной. В этом случае система находится на границе устойчивости. Из выражения (21-108) для h[nTn, е] следует, что система будет устойчивой, если все полюсы, замкнутой систе мы по модулю меньше 1. Таким образом, необходимым и достаточным условием устойчивости линейной системы является выполнение неравенств

zv<l, v=l, 2.....m, (21-133)

которые обозначают, что все корни характеристического полинсма, являющегося знаменателем передаточной функции замкнутой системы:

Я(г).= fcoz + fciz -1 +

+ ... + bm, (21-134)

лежат внутри окружности единичного радиуса в плоскости 2.

Для того чтобы установить, является ли система устойчивой, нет необходимости искать корни характеристического уравнения. Имеются критерии, с помошью которых можно определить, устойчива ли заданная система. Они вполне аналогичны критериям в теории непрерывного регулирования.

Алгебраический критерий устойчивости (аналог критерия Рауса - Гурвица). Для

Таблица 21-11

Условия устойчивости импульсных автоматических систем

того чтобы импульсная система была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического полинома (21-134) B(z) удовлетворяли неравенствам, приведенным в табл. 21-11.

Практически этим критерием удобно пользоваться, если /лГЗ.

Алгебраический критерий позволяет найти соотношения между параметрами схемы, при которых достигается устойчивость системы. Однако с помощью этого критерия нельзя определить, насколько далека система от неустойчивого состояния (т. е. запас устойчивости), а при т>3 соотношения между параметрами становятся весьма сложными и труднодоступными для анализа.

Амплитудно-фазовый критерий (аналог критерия Найквиста - Михайлова) позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовым характеристикам разомкнутой системы (см. стр. 49). При формулировке этого критерия необходимо иметь в виду, что если непрерывная часть системы устойчива, нейтральна или неустойчива, то разомкнутая импульсная система будет также соответственно устойчива, нейтральна или неустойчива.

Пусть разомкнутая и импульсная система устойчива. Тогда замкнутая система будет устойчивой, если импульсная амплитуд-но фазовая характеристика разомкнутой системы при изменении со от 0 до я не охватывает точку -1, /0. В случае, когда амплитудно-фазовая характеристика

имеет при со-* 0 ветвь, уходящую в бесконечность, характеристика дополняется дугой бесконечно большого радиуса, начинающегося на годографе и идущей к положительной действительной полуоси.

При неустойчивой разомкнутой системе критерий формулируется аналогично критерию для непрерывных систем.

В общем случае замкнутая система будет устойчивой, если разность между числом положительных и отрицательных переходов импульсной амплитудно-фазовой характеристики п7(е,<0, 0) на отрезке (-1, - оо) вещественной оси равна s/2, где s - число полюсов с положительной действительной частью передаточной функции разомкнутой импульсной системы W(z, 0)lz ртП . Положительным считается

переход с верхней полуплоскости в нижнюю, отрицательным- с нижней в верхнюю (при возрастании со от 0 до я).

Частотный критерий обладает определенной наглядностью и позволяет оценить запас устойчивости системы, хотя и требует довольно сложных построений годографов, особенно при высокой степени полинома В.

Пример 1. Найти условия устойчивости системы, содержащей П-ключ и интегрирующее звено с коэффициентом передачи К.

Импульсная передаточная функция (см. стр. 107, формула (21-84))

(2) =

КуТп г- 1

y = tu/Tn.

Запишем импульсную передаточную функцию замкнутой системы:

W{z) КуТл

Ф(г) =

l+W(z) г~1 + КуТп KyTn В

Характеристическое уравнение имеет вид: boz + 6, = 0,

bo =1; bt = - 1 +КуТа.

В соответствии с алгебраическим критерием, условия устойчивости: 6о+ьЧ>0 и bo-6.i>0. Таким образом, находим:

-1 + 1 + КуТп > 0 и КуТп > 0,

т. е. К>0;

1 + 1 -КуТп > 0 и К< Ккр =~ .

Первое условие совпадает с условием правильного функционирования системы. Второе условие говорит о том, что в системе существует критический коэффициент передачи. Для экстраполятора нулевого порядка y=1 и KkV=2ITb.

Заметим, что система непрерывного регулирования, содержащая один интегратор, всегда устойчива, в то время как импульсная система может потерять устойчивость. Здесь проявляются характерные особенности импульсных систем

Пример 2. Найти условия устойчивости системы, содержащей инерционное звено (коэффициент передачи К и постоянная времени Т) и П-ключ с относительной длительностью импульса y=tR/Tn.

Импульсная передаточная функция разомкнутой системы (см. стр. 108):

W(z)

=*e-4TT-ij--

Id г

Для того чтобы воспользоваться алгебраическим критерием устойчивости, запишем передаточную функцию замкнутой системы. Поскольку устойчивость определяется характеристическим уравнением и, естественно, не зависит от е, передаточную функцию замкнутой системы запишем в наиболее простой форме, т.е. для е=0

W(z)

ф (г) =--- =

Ke-PjePv-l)

г - е-р +/Се~р( ePv i) где B=r /7-.