Переходная функция

Переходной функцией (или переходной характеристикой) линейного динамического звена называют зависимость выходной величины от времени при условии, что на вход динамического звена в момент t-Q подается ступенчатый сигнал (или сигнал включения) единичной амплитуды.

Таким образом, переходная функция ft (г) является реакцией цепи на единичную ступенчатую функцию. Учитывая, что изображение единичной функции есть 1/р, для ft (2) можно записать:

h(t)=L-*{W(p)/p}, (21-12)

где L-1 обозначает операцию обратного преобразования Лапласа.

Последняя формула получена путем подстановки в выражение (21-4*) вместо Х(р) величины 1/р, которая является изображением единичной ступенчатой функции. В результате этого получается изображение переходной функции. Для получения оригинала (т. е. самой переходной функции) необходимо осуществить обратное преобразование Лапласа, как это обозначено в формуле (21-12).

Для вычисления обратного преобразования Лапласа используют таблицы (см. т. 1, табл. 1-6) или применяют вторую теорему разложения (см. т. 1, стр. 48), представляя выражение в фигурных скобках формулы (21-12) в виде суммы простейших дробей.

Обратное преобразование Лапласа для каждой из таких дробей представляет собой экспоненту.

Если передаточная функция содержит k нулевых полюсов, т. е. нулевых корней полинома знаменателя передаточной функции, то в разложении появятся члены типа ак/рк, которым соответствуют обратные

,k-i

преобразования Лапласа вида a*~~-JJ ,

(см. т. 1, стр. 46). При высокой степени полинома знаменателя передаточной функции затруднительно вычисление его корней и, следовательно, возникают сложности разложения W(p)/p на простейшие дроби. В этом случае прибегают к приближенному построению переходной функции h(t) всей системы по вещественным частотным характеристикам замкнутых систем, полученным путем использования ЛАХ и ЛФХ отдельных звеньев, а также к моделированию звеньев с помощью аналоговых математических машин.

Заметим, что для всякого физически возможного звена сигнал на выходе не может появиться до поступления сигнала на вход, т. е.

h(t) = 0 при t < 0.

Последнее выражение называют условием физической возможности

(или осуществимости) звена (системы).

2-1248

Импульсная переходная функция

Импульсная переходная функция g(t) (импульсная переходная характеристика или весовая функция) является реакцией звена на б-функцию, приложенную к звену в момент =0 (см. т. 1, стр. 49 и 183). Так как изображение б-функции равно 1, импульсная переходная характеристика находится как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции

g(t) =L-4\-W(p)} =

= L-t{W(p)}. (21-13)

Для вычисления g(t) используются либо таблицы оригиналов и изображений, либо представление W(p) в виде простейших дробей, для каждой из которых обратное преобразование Лапласа выражается экспо-нентой. В последнем случае требуется нахождение корней полинома знаменателя передаточной функции.

Для вычисления импульсных переходных характеристик (особенно при теоретических исследованиях) могут быть использованы формулы обращения Римана - Меллина (см. т. 1, стр. 48).

Для любой физически возможной системы g(t)-0 при г<0, так как сигнал на выходе не может появиться до поступления сигнала на вход:

Связь между характеристиками

Между отдельными характеристиками существует связь (см. т. 1, стр. 181-184), поскольку каждая из характеристик определяет динамические свойства звена.

Важнейшими из этих соотношений являются следующие:

g (t) = - J К (/со) еш da; (21-14)

/С </о>) = J g(t)e-iat dt; (21-15) и

W(p) = § git)e-#dt. (21-16)

Для у9тойчивых звеньев все указанные интегралы существуют.

Из формулы (21-16) следует, что передаточная функция является преобразованием Лапласа от импульсной переходной характеристики. Импульсная переходная характеристика является производной от переходной характеристики, т. е.

(0 =

dh(t) dt

Эти формулы позволяют выразить импульсную переходную характеристику через передаточную функцию или частотную передаточную функцию (комплексный коэф-

фициент передачи), причем формулы (21-15) и (21-14) являются прямым и обратным преобразованием Фурье.

Одной из сторон взаимной связи между частотными и временными характеристиками является положение о том, что чем

нии. В реальных .условиях величина К постоянна только на некотором ограниченном участке ab изменения входной величины, где зависимость у от,х линейна (рис. 21-12).

Когда рабочая Точка й лежит на криволинейном участке, реальную зависимость

Рис. 21-11. Характеристики К(й>) и h(t). А - входной сигнал (ступенчатый сигнал амплитуды А).

шире частотная характеристика (больше полоса пропускания), тем быстрее протекают процессы установления. Это положение иллюстрируется рис. 21-11.

Амплитудно-частотная характеристика К(а) для случая (б) шире, чем для случая (а), поскольку при определенном уровне К(а) CDj >соь соответственно время установления /р переходной характеристики h (г) (т. ё. длительности переходного процесса) в случае (б) меньше, чем в случае (а).

21-3. ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗВЕНЬЯ И ИХ СВОЙСТВА

для малых отклонений от точки й заменяют отрезком прямой, касательной к характеристике у(х) в точке d. Коэффициент передачи при этом будет равен /C<i=tga. Такая замена называется линеаризацией характеристики реального звена.

В дальнейшем дается определение основных линейных динамических звеньев и рассматриваются их характеристики. При этом всюду предполагается, что в каждом динамическом звене имеются устройства для выполнения условий однонаправленно сти и независимости (см. стр. 12); эти устройства на рисунках не обозначаются.

Пропорциональное (или усилительное) звено

Пропорциональное звено характеризуется постоянным (в общем случае размерным) коэффициентом передачи К=у/х.

К такого рода звеньям относятся не только усилители, но и такие устройства, в которых одна физическая величина преобразуется в другую в постоянном отноше-

Рис. 21-12. Характеристика усилительного (пропорционального) звена. Линеаризация звена в точке d.

Пример 1. Управитель частоты в системе АПЧ (стр. 10). Его работу характеризует зависимость между отклонением частоты гетеродина Д/г и управляющим напряжением иу:

А/г = KyAUj.

Отношение выходной величины (Д/г) ко входной величине (Дну) - передаточная функция звена №=Д/Г/Дцу - есть величина постоянная (для участка ab характеристики). Это отношение является коэффициентом передачи Ку звена с размерностью герц на вольт.

Пример 2. Частотный дискриминатор в системе автоподстройки частоты (если не принимать во внимание инерционности сглаживающих ?С-элементов) характеризуется зависимостью выходного напряжения ыд от расстройки частоты Д/ относительно переходной частоты дискриминатора

ыд = KzAf.

Отсюда передаточная функция (коэффициент передачи)

х Af

Инерционное звено

Инерционным -называется звено, имеющее передаточную функцию (рис. 21-13):

W(p) или

2/(0 =

У(р) Х(р) тР+\

TD + 1

Y(p)

Рис. 21-13. Инерционное звено.

Параметры звена: Т - постоянная времени, характеризующая инерционность звена (размерность - секунда); К - коэффициент передачи звена (в общем случае, размерная величина).

В установившемся режиме уусч при постоянном входном сигнале х=Х0 производная выходной величины равна нулю; следовательно, полагая р=0, находим;

J/уст === КХо.

Комплексный коэффициент передачи получается из передаточной функции заменой р на /со:.

(/И) = lcДг==Я{tй)e/Ф(t0,

Инерционное звено описывается следующими характеристиками.

А мплитудно-фазовая характеристика

К (/со) = ы(со) +}v(a),

U (со)

1 + со2Г2

v (со) =

1 + со2 Г2

Характеристика представляет собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте, пересекающую ось и при со=0 (точка с абсциссой К) и стремящуюся к нулю при to -* оо (рис. 21-14).

Амплитудно-частотная К

К (СО):

характеристика

Vi + №

= yV-H>2.

При со=0 /С(ш) имеет максимальное значение, равное К., и убывает, .стремясь к нулю, с увеличением со. Чем больше Т, тем интенсивнее убывает К(а) с ростом частоты (рис. 21-15).

Рис. 21-14. Амплитудно-фазовая характеристика инерционного авена.

Рис. 21-15. Амплитудно-частотная н фазо-частотная характеристики инерционного звена (постоянные времени Т<Т ).

Фазо-частотная характеристика

V ((О)

ф (со) = arctg --- = - arctg фТ. и (со)

При со=0 фазовый сдвиг равен 0. С увеличением частоты сдвиг по фазе выходных колебаний растет тем интенсивнее, чем больше Т, стремясь к - зт,/2 при (0->-оо. На частоте (£>{=1/Т фазовый сдвиг составляет -я/4.

Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ)

L (со) = 20 lg \К (/со) = 20 Ig К (со) =

= 201g - =

У 1 + (соГ)2 .

= 20 lg К - 20 lgУ\ + (шТ)2.

Для ю используется логарифмический масштаб. Практически значительно удобнее пользоваться приближенными ЛАХ. Для очень низких частот (o<(Oj = l/7 в подкоренном выражении величиной (соГ)2 можно