Составим уравнения системы, полагая, что входной угол ввх является постоянным (в данной системе без ограничения общности можно положить ввх=0).

Так как 6Вых= W(D)u, то

вых , d@ +

= /Си.

Обозначим для удобства 0=х. Тогда характеристика нелинейного элемента

Г В, х>0; w \ -В, х<0.

Учитывая,что при 0ВХ=О, 0вых=-6= получаем:

dzx dx dt2 ~~dl

= KF(x).

Вводя обозначения dx/dt=y, получаем уравнение интегральных кривых

dy 1 KF (х)

dx Г Ту

решение которого определяет фазовый портрет системы.

Учитывая выражение F(x)< Для нахождения интегральных кривых получаем два уравнения:

dy J КВ

dx~ Т + Ту

dy J КВ

dx~ Т Ту

, х<0; , х>0.

Они легко интегрируются. Задаваясь начальными условиями х0, уо, после интегрирования получаем:

х = х0 + Туо - Ту + ВКТ 1п

ВК-у

х<0;

х - х0 + Ту0 - Ту - ВКТ In х>0-

ВК + у ВК + 1

Построение фазовых траекторий производится следующим образом. Задается исходная точка Хо, уо интегральной кривой (например, х=а0, уо=0) и строится отрезок 1 траектории (рис. 21-99, а) согласно уравнению (*) до точки bo, соответствующей х=0 (т. е. до оси ординат). В момент достижения этой точки (fco) становится справедливым уравнение (**), причем в качестве начальных условий нужно выбрать координаты х0, уо, соответствующие точке bo, т. е. положить х0=0, уо=Ьо. Отрезок 2 траектории строится до оси ординат, когда вновь произойдет смена уравнений. Следующий отрезок 3 строится согласно уравнению (*), причем начальные условия

соответствуют теперь точке Ь\. Продолжая построение, убеждаемся, что процесс сходится к началу координат. Можно показать, что по мере приближения к началу координат, частота колебания неограниченно нарастает (см., например, [Л. 4, стр. 424]). Линия, при достижении которой происходит изменение вида уравнений (в данном случае она совпадает с осью ординат) , называется линией переключения. Наличие линий переключения - характерная черта систем, содержащих релейные элементы.

Для того чтобы облегчить построение фазового портрета, можно нанести на плоскости х, у семейство изоклин (рис. 21-99,6). Для левой (х<0) полуплоскости [уравнение (*)] уравнение изоклин имеет вид:

dy

Т ~=1 = dt

где :

1 + 1

(для удобства здесь изменен масштаб вдоль оси абсцисс в Т раз, чтобы постоянные величины I были безразмерными).

Все изоклины являются прямыми, параллельными оси абсцисс, причем каждому значению величины I (тангенсу наклона касательных к интегральным кривым) соответствует единственная прямая. Величине ?->-оо (касательные идут вертикально) соответствует отрицательная полуось абсцисс, 1=0 (касательные горизонтальны) - прямая на уровне KB, 1=1 (угол наклона касательных +45°) - прямая на уровне КВ/2 и т. д. Наклон касательных на изоклинах указывается стрелками.

При изменении I от -1 до нуля изоклины расположены выше линии 1=0,.причем углу наклона -л/4 соответствует бесконечно удаленная изоклина.

Когда /<-1, у отрицательны и изоклины расположены ниже оси абсцисс. При этом угол пересечения меняется от 0 (бесконечно удаленная изоклина) до 90°. Так, KB

например, уровню у=- -~ соответствует изоклина с 1=-3.

Для правой полуплоскости [уравнение (**)] уравнение изоклин имеет вид:

Tdy dlL j {

dt da у

и картина изоклин будет симметричной с построенной для £<0 (рис. 21-99).

Интегральные кривые наносятся в соответствии со стрелками, указывающими направление касательных к этим кривым,

Рис 21-99. Фазовый портрет системы, изображен ной на рис. 21-98.

а - фазовая траектория; б - фазовый портрет с нанесенными изоклинами.

Гармоническая линеаризация

Метод гармонической линеаризации позволяет установить, будет ли система с нелинейным элементом устойчива, а если в системе возникнут колебания, будут ли эти колебания иметь устойчивую амплитуду, а также приближенно определить амплитуду и частоту автоколебаний. Этот метод предложен Л. С. Гольдфарбом в СССР [Л. 24]. Он применим к системам, которые вместе с нелинейным элементом содержат линейные элементы, обладающие свойствами фильтрации нижних частот. Для большинства систем автоматического регулирования это требование обычно выполняется.

Предварительно система должна быть приведена к виду, где нелинейный элемент ИЭ включен последовательно с линейной частью системы ЛЧ (рис. 21-100). Рассмотрим несколько примеров приведения струк-

турных схем к такому виду при различном расположении нелинейных элементов в системе.

а) Для системы, где нелинейный элемент расположен как на рис. 21-101, а, можно написать:

г= (ввх - ввых)-xWs.

Но x=W2y, а ввых=№4х.

Таким образом,

г = (ввх - WiX) Wi - Wsx =

= WiObx- (WiWt + Ws)x =

= Иввх - WziWyWb + Ws)y,

i 4l*

Рис. 21-100. Общая структурная схема системы, содержащей нелинейный элемент ИЭ.

передаточная функция линейной части.

Следовательно, для получения входного сигнала z нелинейного элемента нужно его выходной сигнал у, умноженный на Wi(WiW4+Wi), вычесть из входного сигнала 0вх, предварительно помноженного на Wi. Таким образом, последнему уравнению отвечает структурная схема на рис. 21-101, б, где передаточная функция линейной части

VBm4 = WWtWt + Ws).

б) Для системы, где нелинейный элемент включен как на рис. 21-102, а,

z = [W1e - y]W2.

Учитывая, что в=6вх-вВЫх, а 0ВЫт= = W3z, получаем:

2 = [Wi(6bx -ввых) ~y]W2 =

= №,№гввх - WiWzWaZ - W2y

1 + WiWJPs

1 + WiW2Ws

Для получения входного сигнала 2 нелинейного элемента нужно из сигнала 6Вх, предварительно умноженного на WiW2/l + + WiW2W3, вычесть выходной сигнал у нелинейного элемента, умноженный на W2/l + ,+WXW2W3. Следовательно, последнему уравнению отвечает структурная схема на рис 21-102, б.

В методе гармонической линеаризации предполагается, что если на вход системы поступает гармоническое воздействие (синусоидальные колебания) вВх = втвх sin at, то в результате фильтрующего действия линейной части выходной сигнал будет также синусоидальным: вВых = втвых sin((o/ + +ф), а все высшие гармоники, которые возникают при прохождении разностного сиг-

нала z=6Bx-ввы* через нелинейный элемент, фильтруются (отсеиваются) линейной частью. Такое предположение в большинстве случаев оправдывается, поскольку замкнутая система регулирования является чаще всего узкополосным фильтром нижних частот.

Свойства нелинейного элемента проявляются в том, что фазовый сдвиг первой гармоники выходного сигнала по отношению к входному сигналу и отношение амплитуд этих сигналов зависят от амплитуды колебаний на входе. Для линейного элемента при определенной частоте отношение амплитуд и фазовый сдвиг- величины постоянные.

В методе гармонического баланса для характеристики свойств НЭ вводится нормированная передаточная функция или нормированный комплексный коэффициент передачи Kn(jA), который определяется соотношением

к а а)

Рис 21-101. Приведение схемы с нелинейным элементом во внутреннем контуре.

а-исходная схема; б - схема, преобразованная к виду на рис. 21-100.

Кв(М) =

= к (а) е/Фн (А)

(21-149)

Рис,

Здесь

Здесь К -] отношение амплитуды первой гармоники сигнала на выходе к амплитуде А синусоидального сигнала на входе, а ц>в(А)- фазовый- сдвиг указанных сигналов. Иначе говоря, Ka(jA) представляет собой нормированный коэффициент передачи по первой гармонике.

Для нахождения КВ(]А) необходимо разложить выходной сигнал y = F(z) нелинейного элемента при синусоидальном входном сигнале z=A sin юг в ряд Фурье, вычислить комплексную амплитуду первой гармоники и разделить на величину А. В соответствии с формулой разложения в ряд Фурье (см. т. 1, стр. 53) получаем

у = F (A sin иг) = а0 + £ [а cos &0ь/ +

+bk sin ЫкЦ. (21-150)

Так как .функция F(z) обычно симметрична (см. табл. 21-12), то постоянная составляющая выходного сигнала а0=0. Учитывая только первую гармонику, запишем для вы- ]

ходного сигнала нелинейного элемента: = -

у yi = ах cos coi t + b{ sin coi t =

= К sin(coi t + фн). (21-151) где ф=шг.

21-102. Приведение схемы с нелинейным элементом в цепи обратной связи внутреннего контура

исходная схема; б - схема, преобразованная к виду, веденному на рис. 21-100.

/СБШфн; fci = Лсовфн;

coi = со=2я/Т - круговая частота входного сигнала, а а, и Ь\ - коэффициенты разложения Фурье:

Г/2 2 (

fii = - 1 F (A sin юг) cos out dt ---

-Г/2 2л

F (A sin ф) cos фйф; (21 -152)

fF (A sin cot) sin cor dt

-T/2

2я Г

F(A simp) sin фЛ]>, (21-153)