24-2. АНАЛОГОВЫЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ И УСТРОЙСТВА

Основные принципы построения и классификация АВМ

В АВМ все переменные представляются в некотором масштабе непрерывно изменяющимися физическими величинами: длинами, углами поворота звеньев, скоростями, токами, напряжениями. Машины этого класса представляют собой такие физические системы (механические, электромеханические, гидравлические, пневматические, электрические, электронные и т. д.), в которых протекают процессы, описываемые уравнениями, подобными уравнениям, подлежащим решению. Таким образом, АВМ являются математическими моделями изучаемых процессов. Отсюда и второе название этих машин - моделирующие.

Процесс решения любой задачи на АВМ протекает непрерывно при непрерывном вводе исходных данных, а структура ее находится в прямой зависимости от сложности решаемой задачи. Схемы АВМ выбираются так, чтобы математические зависимости, характеризующие связь между входными и выходными величинами в машине, были тождественны заданным для решения математическим уравнениям. Возможность решения задач в натуральном масштабе времени делает эти машины незаменимым инструментом для осуществления математического моделирования, при котором удается сравнительно просто изменять параметры исследуемой системы и выбирать наилучшие их значения, а также позволяет удобно осуществлять сопряжение АВМ с реальными объектами для их исследования. К недостаткам АВМ следует отнести сравнительно низкую точность вычислений. Увеличение точности вычислений вызывает резкое усложнение конструкции и повышение стоимости всего устройства. Однако достигнутая в настоящее время точность (порядка нескольких процентов) часто бывает достаточной для многих технических применений. Другим недостатком АВМ можно считать относительно малую универсальность, которая состоит в том, что переход от решения одной задачи к решению другой связан с изменением структурной схемы машины. В настоящее время АВМ строятся для интегрирования дифференциальных уравнений, решения алгебраических и трансцендентных уравнений, а также уравнений в частных производных. Наибольшее распространение получили АВМ для интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом классе машин различаются линейные и нелинейные аналоговые вычислительные машины.

Линейные АВМ предназначены для исследования объектов или процессов, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными или переменными коэффициентами.

Нелинейные АВМ служат для исследования объектов или процессов, динамика которых описывается нелинейными дифференциальными уравнениями. Нелинейные АВМ отличаются от линейных наличием специальных устройств, реализующих различные нелинейные функции. На нелинейных АВМ можно также решать линейные дифференциальные уравнения и их системы. Возможности той или иной АВМ .зависят от состава оборудования, т. е. от количества решающих элементов, каждый из которых реализует ту или иную математическую операцию.

В зависимости от способа компоновки решающих элементов АВМ можно подразделить на матричные и структурные. Матричные АВМ имеют решающие элементы, соединенные жестко в типовые группы, каждая из которых предназначена для решения одного уравнения первого порядка. Количество таких типовых групп в машине соответствует порядку исследуемого уравнения. Матричное построение машины обеспечивает удобство ее эксплуатации, позволяет быстро переходить от решения одной задачи к решению другой. Однако, матричные АВМ обладают малым коэффициентом использования оборудования, вследствие чего они распространения не нашли.

Структурные АВМ не имеют жесткой коммутации решающих элементов, а элементы каждый раз соединяются между собой оператором в соответствии с моделируемой системой уравнений. Соединение решающих элементов выполняется обычно на специальном наборном поле. Структурные машины менее удобны в эксплуатации, но более экономичны с точки зрения количества используемых решающих элементов и позволяют широко изменять форму моделируемых уравнений.

24-3. ОСНОВНЫЕ БЛОКИ АНАЛОГОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

Для решения большинства практических задач оказывается достаточным иметь сравнительно небольшое количество различных решающих элементов (блоков).

К ним можно отнести:

линейные блоки операционных усилителей: суммирующие, масштабные, инвертирующие, дифференцирующие, интегрирующие;

блоки постоянных и переменных коэффициентов;

нелинейные блоки: функциональные блоки одной или нескольких переменных, блоки произведения и деления, блоки специальных нелинейных функций и т. д.

Линейные блоки операционных усилителей

При создании вычислительных уст- ройств, выполняющих те или иные математические операции, появляется необходи-

мость в . последовательном (каскадном) соединении ряда решающих элементов. Последовательное соединение их приводит к появлению погрешностей, вызванных влиянием нагрузки, создаваемой последующими элементами на предыдущие элементы. Поэтому желательно иметь решающие элементы, обладающие большим входным и малым выходным сопротивлениями. Такими свойствами обладают решающие элементы, построенные на основе применения усилителей постоянного тока с отрицательной обратной связью по напряжению. Подобные вычислительные устройства часто называются операционными усилителями. Рассмотрим некоторые из них.

Суммирующий операционный усилитель

На рис. 24-3 представлена схема суммирующего операционного усилителя. Определим зависимость между выходным напряжением ивых и напряжениями ь 2,..., ип, являющимися слагаемыми.

Г-0U/0-С±3-!

-0 uz 0-СГЗ-

Рис. 24-3. Суммирующий операционный усилитель

Рассматривая замкнутый контур ВСДВ, можно записать-

Uc = Щ -\- 11вых,

где о - падение напряжения на сопротивлении Ко- Отсюда

Wo ioRo - ис - ывых

Подставив выражения для токов 1к и io в формулу (24-3), получим:

fe=l

(24-4)

Пусть коэффициент усиления усилителя без обратной связи равен -К. Тогда .

ис - - ивых

В выражение (24-4) подставим значение ис и разрешим его относительно Вых:

1 + К К

п fe+1

К Rk

fe=i

(24-5)

Так как коэффициент К достаточно велик (K~X104-f-106), тосболыной точностью можно считать:

Согласно первому закону Кирхгофа можно записать:

i= Е ik. (24-1)

fe=l

С другой стороны,

i=h+ ic, (24-2)

где /0 - ток, протекающий по сопротивлению Ro обратной связи; £с- ток, протекающий по входной цепи усилителя. Часто током ic, потребляемым входной цепью усилителя, можно пренебречь. Тогда уравнения (24-1) и (24-2) можно записать в виде

Ч = S ** (24-3)

fc=i

На основании второго закона Кирхгофа получим следующие выражения для токов

иъ - ис

ife=-~- (*=1,2.... ,я),

где ис - напряжение, действующее на входе усилителя.

1+К вых 1 0

К К 2j Rk

Тогда уравнение (24-5) примет вид; л

fe=l

(24-6)

Выбирая сопротивления Rk и Ко, можно получить необходимые масштабы суммируемых переменных.

Если выбрать Ri=R2=Rs- ... =Rn=Ro,

: = - 2

(24-7)

Из уравнения (24-5) следует, что точность рассмотренного устройства не зависит от параметров самого усилителя, если коэффициент К достаточно велик, а зависит лишь от точности и стабильности параметров входной цепи и цепи обратной связи.

При построении суммирующих устройств рассмотренного типа можно вместо

п входных источников напряжении щ, иг, ип использовать один, снимая напряжения, соответствующие слагаемым, с параллельно включенных потенциометров (рис. 24-4). В этой схеме линейные потенциометры К R2, Rn питаются от общего источника напряжения и. В остальном схема работает подобно рассмотренной выше.

!-0 U 0-1

+ -

Рис 24-4. Суммирующий операционный усилитель с одним источником питания во входной цепи.

ивых

Рнс. 24-5. Масштабный операционный усилитель

Рассмотрим операционный усилитель с одним входом (рис. 24-5). Зависимость выходного напряжения ивых от входного и, можно легко получить на основании уравнения (24-6):

(24-8)

Дифференцирующий операционный усилитель

Как известно, выходное напряжение вых дифференцирующей цепи (рис. 24-6) связано с входным напряжением посредст-

Рис. 24-6. Дифференцирующая цепь.

вом линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, т. е.

duBb.x 1 йи .

+ вых = - (24-9)

dt RC л dt Для случая, когда к - линейная функция, du Idu \ d2u

dt ~\dt

имеем:

const; - = 0;

= RC

[l-e *c)

= RC

du dt

dU -TTT

Величина RC - e HC dt

представляет со-

бой погрешность дифференцирования. С уменьшением постоянной времени цепи RC абсолютная погрешность уменьшается, однако при этом уменьшается и абсолютная

-СЭ-

и i 0-

иВых -0

Отношение RcfRi представляет собой масштабный коэффициент. Подбирая различные значения Ко и R\, можно изменять масштаб выходного напряжения в широких пределах. Поэтому такое устройство часто называют масштабным усилителем. В существующих схемах отношение Ko/Ki изменяется в пределах 10~2- 102.

Если положить в уравнении (24-8) Ro=Ri, то получим: ивых=-и,.

В данном случае выходное напряжение воспроизводит входное с коэффициентом - 1: Такое устройство называется инвертирующим усилителем или инвертором.

Рис. 24-7. Дифференцирующий операционный усилитель.

величина выходного напряжения. В этом состоит основной недостаток простых ем-костно-омических дифференцирующих цепей. Подобные цепи могут применяться лишь для качественного дифференцирования.

Для увеличения точности и получения большей амплитуды выходного напряжения емкостно-омические дифференцирующие цепи применяются в комбинации с усилителя-