8.5. Математические методы анализа физических полей РЭА тенциальной энергии, диссипатив- получим уравнение ной функции и внешней силы. ности

Аналогом потенциальной энергии, выраженной в виде квадратичной формы

= div (Л grad О),

k,i=\

k Qi Qh;

является тепловой потенциал 1

cpfl-2 dV.

Диссипативной функции R ставится в соответствие интегральное выражение тепловой диссипации (тепловых потерь)

J dV,

где X - коэффициент теплопроводности .

В качестве обобщенной термической силы понимается сила, равная

г дР Fi= nд-dS, j dQi

где п - единичный вектор нормали с положительным направлением внутрь тела.

Таким образом, вариационный принцип решения задачи, по определению теплового поля, сводится к интегрированию дифференциальных уравнений в форме Лагранжа

ди дР . dqi

+-=Fr,qi -

(8.24)

обобщенных координат (?; и qi.

Это вытекает из условия эквивалентности уравнения Лагранжа (8.24) уравнению теплопроводности. Покажем это

Функция действия для теплового поля

Ldi-.

(U + R)dt.

Вычисляя вариации для функций и к R к используя принцип Остро-Градского - Гамильтона

б5 = б (6i;+ №)*=. О,

что и требовалось показать

8.Б. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ РЭА

Общие положения

В общем случае физические эффекты, возникающие в конструкции РЭА в процессе ее функционирования, могут быть описаны совокупностью алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений с соответствующими начаьными и граничными условиями.

Математическое исследование

конструкции РЭА может иметь целью ее анализ и синтез. Под анализом понимается исследование полей или характеристик элементов РЭА при заданной конструкции и параметрах РЭА. Под синтезом - определение оптимальных параметров, обеспечивающих заданное распределение полей или заданные конструктивные требования при определенных внешних воздействиях, условиях работы и ограничениях, накладываемых на РЭА.

Задачи анализа физических полей РЭА приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго и более порядка.

Уравнение, связывающее неизвестную функцию и {х, у, г, 1), независимые переменные х, у, г, t ж частные производные от неизвестной функции, называется дифференциальным уравнением с частными производными.

Оно имеет вид

{х, у, г, и.

дх .....

)=о.

где F - заданная функция свовя аргументов.

теплопровод-

Уравнение с частными производными называется квазилинейным, если оно линейно относительно всех старших производных от неизвестной функции. Так, например.

а(х. у. г. t, + в(х.... t, + ...Ч-С

dU дх dU дх

W\d4J ) дх

dt ) дхду

ди \ дЧи дг ди

есть квазилинейное уравнение второго порядка.

Уравнение с частными производными второго порядка называется линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и ее частных производных.

Рассмотрим уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными

+ F\x. у. и.

дхду ди дх ду

)=

(8.25)

где коэффициенты А, В п С одновременно не обрашаются в нуль.

Уравнению (8.25) соответствует квадратичная форма

f+2B&,&+C=0. (8.26)

Тогда тип дифференциального уравнения (8.25) будет:

1) гиперболический, если В - -i4C>0 (квадратичная форма (8.26) знакопеременная);

2) параболический, если - -АС=0 (квадратичная форма (8.26) знакопостоянная),

3) эллиптический, если В - -АС < О (квадратичная форма (8.26) знасоопределенная).

Строго говоря, задачи расчета физических полей РЭА являются нелинейными. Однако в целях упрощении нахождения решений в первом приближении многие задачи теплового

режима, экранирования и др. могут считаться линейными. Поэтому здесь рассматриваются математические методы исследования линейных задач, для которых сравнительно просто построить регулярные решения.

Изучение различного вида электромагнитных, и механических коле-., баний в РЭА приводит к волновым уравнениям (уравнениям гиперболического типа)

dU ди дх ду

где с - скорость распространения волны в данной среде, F - возмущающая сила.

Процессы распространения тепловой энергии в РЭА описываются уравнением теплопроводности (уравнением параболического типа)

ди ( V V

где = к/ср - коэффициент температуропроводности, р - плотность источников тепла.

Стационарные электрические поля и установившееся тепловое состояние РЭА описываются уравнениями эллиптического типа. При наличии источников тепла или электрических зарядов приходим к уравнению Пуассона

ди , ди

= -р. (8.27)

При отсутствии источников тепла и зарядов справедливо уравнение Лапласа

ди ди ди дх ду fe2 ~

Введя в рассмотренные выше уравнения оператор Лапласа

У2 = д s

дх ду

дг -

получим основные уравнения математической физики

cAU + F. --=a AU+p.

dt - - fft AU = - p, AU = 0,

изучение которых дает возможность решить ряд задач, возникающих при конструировании РЭА, в частности, теплового режима, экранирования, вибраций и т. д.

Постановка краевых задач

Постановка задач математической физики включает: а) основное уравнение (или систему уравнений), которому удовлетворяет искомая функция, описывающая исследуемое явление, б) дополнительные условия

Дополнительными условиями являются так называемые граничные (краевые) условия, заданные на границе рассматриваемой области, и начальные условия, относящиеся к одному какому-нибудь моменту времени, с которого начинается изучение данного физического поля РЭА. Зад чи в такой постановке называются краевыми или граничными. Краевые условия определяются физическим характером явления и могут иметь разнообразный (в том числе и нелинейный) характер. Приведем постановку краевых задач для уравнений гиперболического и параболического типов:

дР дЦ dt где

=:cAU-\-F(M, t)i

==aAU-{-P{M, t).

(8.28)

(8.29)

дифференциальный оператор, а, с, F и Й - функции точки М.

Краевые задачи для уравнений параболического и гиперболического типов формулируются следующим образом: найти функцию U {М, t), удовлетворяющую в области G = = {М D, / > 0} уравнению (8.29) (соответственно (8.28)) и дополнительным условиям

Yi(M)

-Уг(М)1/}

= Р(Л1. О-

При -yi s О получим краевое условие 1-го рода, при Y2 = О - второго рода, а при Vi =3 О и -уа О - третьего рода.

Для уравнения эллиптического типа (6.27) краевые задачи формулируются так: найти функцию и (М), удовлетворящую в области D {М D) уравнению

Ai/= - р (М),

а на границе S - аналогичному условию общего вида:

dU dn

+ V2 (М)

Р(М).

Если yi = О, то имеем первую краевую задачу, если уа = О - вторую, а при yt ф О и уф О - третью.

Замкнутая поверхность S физв-ческой модели (элемента) РЭА ограничивает две области: внутреннюю D и внешнюю Di. При постановке краевых задач надо оговаривать, для какой из двух областей (по координатам) требуется искать решение и различать внутренние и внешние задачи, что существенно прежде всего для уравнений эллиптического типа.

Краевые задачи, поставленные в целях аналитического исследования типовых конструкторских задач, должны удовлетворять следующим трем требованиям: 1) решение должно существовать, 2) оно должно быть единственным и 3) устойчивым. Задача, удовлетворяющая всем трем требованиям, называется корректно поставленной задачей.

В конструкторских расчетах для решения краевых задач нашли применение методы: 1) разделения переменных (метод Фурье) [33], 2) конечных интегральных преобразовании [19, 34], 3) операционный (24], 4) функций Грина [19, 33], 5) конечных разностей [28, 29, 33].

Метод разделения переменных

Метод разделения переменных, или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Сущность его заключвет-ся в следующем. Искомую функцию выражают через произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной (координат или времени). При подста-