новке этого произведения в исходное дифференциальное уравнение в частных производных получаем систему из двух или более обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых решается известными методами.

Метод разделения переменных применим, если выполнены следующие условия: а) основное дифференциальное уравнение - линейное; б) граничные условия - линейные; в) область интегрирования - простейшая.

Ввиду линейности исходного дифференциального уравнения полученные частные решения позволяют составить общее решение уравнения в виде сходящегося ряда, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.

Суть метода состоит в следующем. Пусть требуется найти функцию и (М, t), удовлетворяющую линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами

дЦ dt

= а MI

(8.30)

в области D, ограниченной замкнутой поверхностью S, непрерывную в замкнутой области G = {Ж D, / > 0} и удовлетворяющую дополнительным условиям: краевому

/ ди \

(8.31)

и начальному t/(M, 0) = ф(М). (8.32)

В областях, допускающих разделение переменных [линейность уравнения (8.30) и граничных условий (8.31), (8.32)), решение краевой задачи (8.30)... (8.82) может быть найдено методом Фурье по следующей схеме.

а) Находим частные решения уравнения (8.30), удовлетворяющие только краевым условиям (8.31), среди функций вида

и (М, t) = v (М) Т (/).

а Т

dv , d v

дх ду

Т =-

Из требования тождественности этого равенства необходимо и достаточно, чтобы обе части Av/v и Т/а Т были равны одной и той же константе: Av/v = - Я, Т/аТ = - ?1.

Следовательно, в качестве функций Т (t) и V (М) надо брать нетривиальные решения уравнений

Г + ХТ = О, (8.33)

Av (М) + ли (М) = 0. (8.34)

причем функция v (М) должна удовлетворять краевому условию

Задачу (8.34), (8.35) называют задачей Штурма - .Лиувилля.

б) Решаем задачу Штурма - Лиувилля. Пусть Ht (Ж)1, Vn (М)... - суть собственные функции этой задачи, а ?Lt....., Хп, - -отвечающие

им собственные значения.

в) Уравнение (8.33) решается для каждого собственного значения

к = Xji- Общее рещение его имеет вид

Тп (О = С е

г) Произведения функций о (М) Тп (О

Un iM,t) = Cne~vn(M)

образуют частные решения уравнения (8.30) В силу линейности уравнения и однородности краевых условий линейная комбинация таких частных решений является решением краевой задачи (8.30)... (8.32). Запишем это решение

U(M, t)= 2 С е VniM).

(8.36)

д) Подставляя решение (8.36) в начальное условие (8.32), определяем значения коэффициентов С , ноль-

Подставляя функцию t) (М) Т (t) в уравнение (8.30) и деля обе части иа а V (М) Т {f), получаем;

Число II vji II называется нормой функции t) (М).

Метод интегральных преобразований

Методы интегральных преобразований возникли позднее классического метода разделения переменных, а метод конечных интегральных преобразований появился лишь несколько лет назад [19]. Для метода интегральных преобразований характерны те же ограничения, что и для метода разделения переменных: он применим только к линейным дифференциальным уравнениям с линейными граничными условиями для простейших областей изменения независимых переменных. Однако применение этих методов более целесообразно в связи с более простой техникой вычислений и возможностью представления решения в удобном для конкретной задачи виде. Кроме того, решение уравнений в области изображений проще, нежели в области оригиналов.

Преобразование Фурье. При бесконечном интервале переменной х используют интеграл Фурье, т. е.

интегральное представление

U{x) =

fy (л:) =- \smpx U(p) dp.

ji J

Преобразование Лапласа. Условие абсолютной интегрируемости значительно сужает круг практических задач. С целью расширения класса решаемых задач вводят в рассмотрение преобразование Лапласа со ,

U(p) = \ U{x)e- dx (8.37)

(р - некоторое комплексное число) с обратным преобразованием

с+ ioo

V(x)

2ni I

e и (p) dp.

С- ioo

и (p) e dp.

где интегрирование на плоскости р ведется по оси, параллельной мнимой оси и отстоящей от нее на величину с.

Конечные интегральные преобразования. Преобразования Фурье и Лапласа используются при решении конструкторских задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями и их системами. Однако методы интегральных преобразований можйо применить для решения дифференциальных уравнений в частных производных, которыми описываются пространственные задачи теплового режима, элект-

обратным которому является преобразование Фурье

t/(p)= J е- и {X) dx.

- oo

При этом функция U (х) называется оригиналом, а U (р) - изображением или Фурье-спектром. Если функция и (х) задана на промежутке [О, + со] и удовлетворяет на нем условиям Дирихле, то применяются синус- и косинус-преобразования Фурье.

Прямое синус-преобразование Фурье имеет вид

и (р) = J sin pxU{x) dx, о

Обратное преобразование выражается интегралом

зуясь разложением функции ф (М) в ряд по системе собственных функций {t) (M)}

i/ (м, 0) =ф (Ж) = 2 <n Ш),

где Сп - коэффициенты Фурье функции ф (М) находятся по фор-муле

ХК(>:, р)р(х) dx

(8.38)

двух пространственных переменных у, t, времени t и переменной р. Интегральное преобразование (8.38) по переменной х определяется пределами преобразования а, Ъ, ядром К (л:, р) и весовой функцией р {х). В результате интегрального преобразования получается некоторая новая функция и (у, г, t, р), уже не зависящая от х; она называется изображением, а исходная функция и (х, у, г, f) ~ оригиналом. Таким образом, в области изображений исчезла дифференциальная операция по л; и исходное уравнение упрощается.

Выбор функций К (х, р) и р (х) обусловливается не только типом основного дифференциального уравнения, но и характером начальных н краевых условий.

Конечные интегральные преобразования представляют наибольший интерес, поскольку они совместно

с преобразованием Лапласа по вре менной координате дают возможно сть решать ряд задач аналитических расчетов при конструиров ании РЭА.

Для практического использования конечных преобразований необходимо знать формулы обращ ения, которые находятся при помо щи разложения искомой функции в ряд по собственным функциям соответствующей краевой задачи, т. е.

U{x, у, г, t)= U(y, г. t, р)Х n=l

ХК (х,р)р(х),

где К (х, р) - система собственных функций краевой задачи (ядро преобразования).

Дифференциальное уравнение поставленной краевой задачи представляют в виде [19]:

LxUJ-LU = f. (8.39)

где LxU = их - дифференциальный оператор с коэффициентами, зависящими только от переменной х: L - дифференциальный оператор с коэффициентами, не зависящими от x и не содержащий операций дифференцирования по х, причем > 0.

Если по переменной преобразования X заданы граничные условия, то они должны быть представлены в форме:

= Щ, (8.40)

= ФЬ, (8.41)

где величины Vw. V2a. а также Yibi УгЬ не отрицательны и не равны нулю одновременно, а фа и фь - известные функции переменной х. Ядро преобразования равно

К(х.р) = -р(х)К(х),

где Кр (х) - решение однородного дифференциального уравнения

- + Хрр(д.)Кр=0,

ромагнитных явлений в РЭА и др. В этом случае необходимо выбрать такое интегральное преобразование, которое позволило бы дифференциальные операции по одной из переменных заменить алгебраическими выражениями.

Таким образом, задача сразу упрощается: теперь интегрируется уравнение в частных производных, которое содержит на единицу меньще независимых переменных, чем заданное уравнение. Найдя решение преобразованной задачи, с помощью обратного преобразования находят и решение исходной. Основным отличием от преобразований Фурье и Лапласа в применении интегральных преобразований к уравнениям с частными производными является то, что пределы интегрирования конечны, что соответствует реальным моделям радиоконструкций. Такие интегральные преобразования получили название конечных интегральных преобразований.

В этом случае искомой функции трех пространственных координат и времени V {х, у, г, f) сопоставляется функция

U(y,z,t,p)=lU(x, у, Z, ОХ