О,Is = ф (М. /),

где ф (УИ, t) - известная функция точки поверхности S и времени t.

2) Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового времени

потока как функции

откуда dff

=Ф(М. О,

(8.53)

где ij3 (М, () - известная функция, выражающаяся через заданный тепловой поток по формуле

iJ)(M, О = -

Р {М, t)

3) Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. По закону Ньютона количество тепла, передаваемое с единицы поверхности тела, равно Р = а - &с), где а - коэффициент теплообмена конвекции; fl-u, - температура поверхности; - температура среды. По закону сохранения энергии это тепло должно быть равно теплу, которое передается через единицу площади поверхности за счет теплопроводности, т. е. а (fl-iu - Or) = = -Х (йО/ап), где п - внешняя нормаль к поверхности S или, положив h = а/Х, получим

д&

+mw-&c)s = 0. (8.54)

4) Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену соприкасающихся твердых тел. когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова, т. е.

#i (О = ©2 (О-

Помимо равенства температур, имеет место равенство тепловых потоков

(8.55)

Таким образом, краевая задача для температурного поля в твердом., теле ставится так:

Найти функцию & (х, у, г, 0 удовлетворяющую в области G = = (Ж D, ; > 0) уравнению теплопроводности (8.51) и дополнительным: а) начальному & (М, 0) = = ф (М) и б) одному из краевых условий (8.52), (8.53), (8.50) или (8.55).

К такой краевой задаче для уравнения теплопроводности приходим, если рассматривать интегральные микросхемы в виде п-мерного неоднородного параллелепипеда (п = = 1, 2, 3) или в виде многослойной пластины.

Аналитическое исследование теплового режима в этом случае заключается в интегрировании параболического (или, в стационарном случае, эллиптического) уравнения с привлечением необходимых начальных и граничных условий.

Для решения поставленной краевой задачи можно применить метод разделения переменных, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований и численные методы.

Метод разделения переменных в приложении к тепловым расчетам микросхем

Ряд практических задач теплового режима элементов РЭА в теп-лофизическом отношении сводится к исследованию температурного поля в однородных прямоугольных пластинках (термоэлектрические, устройства, микросхемы и т. д.).

В частном случае для двумерной тепловой модели такая задача формулируется следующим образом.

Найти решение уравнения теплопроводности

0<х<Ь, 0<y<d,

ный момент времени некоторой функции ©о = / (а:, у, г, 0).

Граничные условия могут быть заданы различными способами.

1) Граничное условие 1-го рода состоит в задании распределения температуры в каждой точке поверхности S

(8.52)

8.6. Математические основы характерных тепловых расчетов при граничных условиях е (О, у) = (Ь, у) = 0; е (а:, 0) = & (X, rf) = О (8.57)

и при начальном условии е (X, у, 0) = ф {X, у). (8.58)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (8.56) в виде произведения

& v(M)T(0 = Х{х) Y U/)T (t).

(8.59)

Подставляя предполагаемую форму решения (8.59) в (8.56) и разделяя переменные, приходим к следующим уравнениям для функций v(M) и Т (t):

(8 60)

Ди -Ь Ь = 0; г + аХТ = 0.

(8 61) (8 62)

тлх ппу

Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде

fKx, у, t)=.

= 2 т.пехр[-ая(- + , \ 7 . тпх ппу

Удовлетворяя начальному условию (8.58), получаем

i/)= 2 nsi

sin-- X

X sin

Для фупкиии fi (М) получаем задачу на собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля): найти собственные значения Xi и соответствующие им нетривиальные решения - собственные функции задачи (8.60), (8 61)

Для определения функций d(M) = = X {x)Y (у) и Т {/) получим следующие уравнения:

X (X) + riX [х] = О,

У (у) + iJ (у) = о,

г (О + (т)+ 1г2)Г(/)) =0,

где I? = rf \)?.

Общие решения этих уравнений имеют вид:

X (X) = Ci cos щ + Сг sin

Y (у) = Сз cos \х.у + sin Pi/;

Г (О = И ехр l-a (т) + р)/].

Для выполнения граничных условий (8.57) следует положить

Ci = О, Сз = 0; т) = mnlb; р =nnld

(т, п = 1, 2, 3, ...).

Частными решениями уравнения (8 56), удовлетворяющими граничным условиям, будут

(8.64)

Ряд (8.64) представляет собой разложение функции ф (л:, у) в двойной ряд Фурье и коэффициенты Атп определяются по формуле

Ф (X, у) sin -- X

. ппу X sin - dxdy.

Внося эти значения коэффициентов в ряд (8.63), получим решение исходной задачи (8.56) ... ... (8.58).

Операционные методы для расчета нестационарных тепловых режимов РЭА

Для многих задач теплового режима РЭА и функциональных узлов использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. В результате требований специальной (бортовой) РЭА при

решении задач нестационарных тепловых режимов широкое применение нашли операционные методы.

Процесс применения интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциального уравнения теплопроводности однотипен для различных форм радиоэлементов и микросхем при граничных условиях, первого, второго и третьего родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований.

Рассмотрим методику применения операционного метода Лапласа для нестационарного режима

Пусть тепловой режим РЭА (интегральной микросхемы, например) описывается уравнением теплопроводности вида

+ f{x,y, г, t)

(8.65)

в области G = {D с границей S, 0</<Г}.

На границе области заданы условия

(8.66)

При / = О задана функция

Ь (х, y,z,1) = ©о (- :. У, г). (8.67)

Следуя операционному методу Лапласа, умножим исходное уравнение на ехр (-рО и проинтегрируем по / от О до оо. Предполагается также, что интегралы существуют и операция

ехр (~pt)SI Mt--

= V2j ехр( -

правомерна, где д

V2 =

дх ду дг - оператор Лапласа.

Тогда вместо задачи (8.65) ... (8.67) будем иметь

рё-ео = а2--Л (8.68)

д% дп

(8.69)

где О, / и ф - изображения фуик--ций О, ; и ф соответственно, вычисленные по формуле (8.37).

Таким образом, получено дифференциальное уравнение относительно пространственных координат, решить которое значительно легче, чем (8.65).

После определения Ь из уравнений (8.68), (8.69) задача сведется к обратному преобразованию Для простых случаев обратного преобразования используются весьма подробные таблицы изображении [17]. В более общем случае решение получается из теоремы обращения с-1-ioo

b{x.y,z,t) = -~ J ехр (р/) X

с-loo

Хд(х, y,z,p)dp.

(8.70)

где с > а (а - некоторое число, такое, что Re р > о). Интегрирование ведется по прямой Re р = о в пределах от с - ioo до с + ioo, причем корни подынтегрального выражения (pj, Oj) лежат левее оси сходимости Re р = о. Вычисление интеграла (8.70) обычно производится методами контурных интегралов или с применением теоремы вычетов [30].

Порядок операций при использовании операционного метода следующий:

1) исходное уравнение (для оригинала) заменяется преобразованным уравнением, записанным для изображения;

2) граничные условия для оригинала заменяются граничными условиями для изображения. Начальные условия войдут в основное уравнение для области .изображения;

3) находится решение О для преобразованной задачи, при этом может

[ оказаться целесообразным повтор- ное применение интегрального преобразования;