4) совершается обратное преоб- д-& разование, т. е. определяется искомая функция б (х, у, Z, t).

Интегральное преобразование Лапласа имеет свои недостатки. В частности, известные трудности возникают при решении задач, когда начальные условия заданы в виде функции пространственных координат или при решении некоторых многомерных задач В этой связи был предложен ряд методов интегральных преобразований по пространственным координатам в соответствии с геометрической формой тела.

Метод конечных интегральных преобразований при расчетах температуры элементов ИС

При расчетах температуры элементов гибридных ИС требуется определить тепловое сопротивление R между источниками тепла (пленочные резисторы, микротранзисторы и т. д.) и корпусом или же подложкой ИС. В частном случае, подложке ИС ставится в соответствие теплофизическая модель в виде параллелепипеда, на верхней грани которого расположен источник энергии размерами Л и /j, удельный тепловой поток через поверхность которого равен р. Теплообмен на верхней грани подчиняется закону Ньютона, суммарный коэффициент теплоотдачи ранена. Так как расчетные формулы для тепловых сопротивлений включают только разности температур, то можно принять температуру поверхностей остальных граней равной нулю

Для стационарного температурного поля в параллелепипеде без внутренних источников тепла уравнение теплопроводности (8.51) принимает вид

дх + ду &2 ~ 0<а:<а, 0<</<Ь. 0<г<с. (8.71)

Запишем граничные условия: е (О, y,z)f (о, у, г) = 0 (X, О, г)= = 0(а;, Ь, г) = 0(л:, {/, С) = С; (8 72)

р при е-0,5/, <д:<8 -f 0,5/i.

к)- 0,5/а <{/ < + 0,5/2 . О во всей остальной области,

(8.73)

где е, т) - координаты центра источника на грани г = с; К - коэффициент теплопроводности.

Применим метод конечных интегральных преобразований, позволяющий получить решение в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля [19]. Согласно общей теории метода представим искомую функцию в виде разложения в ряд по собственным фунуЦИЯМ (х)

{Ях, у, г)= 2 hiy г)щ(х). ft= i

(8.74)

Ядро преобразования, позволяющее исключить - дифференциальные операции по х, будет

(fix, k) = -p;-4>i,ix),

где вспомогательная функция ф (*) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Ф(, (0) = фй (а) = 0. Отсюда

ф5 {X) = sin --,

/г=1, 2. ...

fiфR(;c) = 0.

(8.75)

lift=-

Поскольку дифференциальное уравнение (8.75) самосопряженное, нормирующий делитель равен

Wh{x)?dx = - .

Осуществив интегральное преобразование в интервале [О, а] с ядром

2 knx

Ф (jc, k) --sin-.

приведем задачу (8.71) ... (8.73) к виду

8. Физико-математические основы конструирования РЭА

= Ph (у).

©ft (0. г) = Ой {Ь. г)=йй (у. 0) = 0. где

bh{y, г) = 1Ь(х,у,г)(х.к)йх,

Рк {у) = fp<*. )Ф(- . k)dx.

При отыскании преобразования, исключающего дифференциальные операции по у, повторяем вышеописанный прием, причем ядро прямого преобразования будет иметь вид

2 тпу

= -.т = 1.2, ...

Представив функцию в ( /, г) в виде разложения в ряд по собственным функциям -фт {у) = sin (irmylb)

h(y. г) = 2 ftm (г) ijJm (4). m= J

(8.76)

приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка

<}лт(0) = 05

(8.77) (8.78)

XdA:d{/. (8.79)

Решение полученной системы

уравнений (8.77) ... (8.79) имеет вид

©ftm(2) =

Xkmn

sin (Pft 8) sin (VmT)) sin X

WftmCh (<uh, C) +

(p.--)sinkAj

+ sh(CuftmC)

X Sh COftm z .

(8.80)

Итак, соотношения (8.74), (8.76) и (8.80) позволяют получить выражение для температурного поля в подложке микросхемы

fKx.y, z)>

16ар Ы

ОО оо

/. = 1 т- 1

yk +m (a/by

km {л YW+rrF[aibf x X ch [yk -i-m (albY лс/а] -f + Bi sh [lAfea+mTo/bf яс/aj}

где Bi = - критерий Био.

Тепловое сопротивление между источником энергии и наружными поверхностями подложки микросхемы, по определению, равно

6+0.5/, п+О.БП

J fKx,y,c)-><

е-О.Ы, п-0.5/j

У. dxdy -

среднеповерхностная температура источника; Ро = рЫ - тепловой поток источника.

8.7. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

РАСЧЕТОВ ВИБРАЦИЙ

И ПРОЧНОСТИ КОНСТРУКЦИИ РЭА

Общие положения

При проектировании конструкции блоков, панелей, рам и стоек РЭА возникает необходимость выполнения динамических расчетов для определения прочности конструкции, вычисления резонансных частот и нагрузок, возникающих в процессе эксплуатации РЭА. Подобные задачи приводят к дифференциальным уравнениям в частных производных теории колебаний и прикладной теории упругости [20].

Для составления расчетных уравнений необходимо, в первую очередь, выбрать динамическую модель РЭА (или составных частей), т. е. представить объект (РЭА) в виде некоторой совокупности инерционных, упругих и демпфирующих элементов. Выбирая физическую модель, необходимо учитывать также и ширину спектра динамического воздействия. Чем выше частоты, имеющиеся в воздействии, тем больше число степеней свободы должна иметь модель РЭА для того, чтобы можно было исследовать ее резонансные колебаггия. Поскольку РЭА имеет сложную нерегулярную структуру и в ее элементах возникают высокочастотные воздействия (до нескольких килогерц), адекватная модель может оказаться чрезвычайно сложной. Следующим этапом является разработка математического описания динамической модели. Математическая модель должна содержать замкнутую систему основных уравнений, а

также способы задания начальных и граничных условий.

Конструкция РЭА является сложной упругой механической системой. Для полного определения деформаций, возникающих в такой системе при колебаниях, необходимо знать перемещение всех ее точек, иначе гоноря, требуется определить бесконечное число координат как функций времени и положения, определяющих эти перемещения п любой момент времени Таким образом, упругие системы являются системами с бесконечным числом степеней свободы или системами с распределенными параметрами. Исследование и расчет таких систем проводятся методами математической физики или вариационными методами

Во многих случаях расчет колебаний упругих систем как систем с бесконечным числом степеней свободы становится возможным при введении в расчет решительных упрощений Одним из таких приемов является замена сложной системы другой, более простой, с другим распределением масс и жесткостей, а именно: эквивалентной (приведенной) системой с одной или с конечным числом степеней свободы. Такие системы являются системами с сосредоточенными параметрами и могут быть исследованы на основании уравнений Лагранжа.

Задачи динамических воздействий, приводящиеся к уравнениям гиперболического типа и уравнениям теории упругости. Постановка граничных задач

В конструкциях РЭА (платы, стойки и т. д.) часто применяются стержневые каркасы и отдельные стержни и пластины в качестве деталей, несущих механические нагрузки. Таким образом, в качестве физической модели можно рассматривать колебания стержней и пластинок.

Уравнение продольных колебаний стержней. Для однородного стерж ня уравнение одномерных малых колебаний имеет следующий вид:

dlldf = сдУдх + I {х, f),

2 = £/р, (8.81)