2/п(Во

/sin (соо<+Р)

и амплитуда колебаний растет линейно со временем (колебания перестают быть малыми и линейная теория уже не применима)

Если на систему действует сила трения R = -а (а - коэффициент трения), то уравнение колебаний, составленное по схеме Лагранжа,

имеет вид т% + 1 = -к, или, если ввести обозначения k/m = = wg, а/т = 2Л,

(8.96)

где 2к - коэффициент затухания.

Решение уравнения (8.96) будет иметь различную форму в зависимости от соотношений между Шо и X.

Вынужденные колебания при наличии трения под действием возмущающей силы F (t) = f sin yt описываются уравнением

-t-2X-fcogg = sinY<.

(8 97)

или, в целях удобства определения решения, уравнением

-Ь2Я+со = -е.

Частное решение уравнения (8.97) ищется в виде g = Be*, тогда

m(al-y + 2\yX)

Представив В в виде В = 6е, имеем

tg6=-

(8.98)

1

mihQi 9ft t

(8.99)

n==- 2 kihqiqhi I. A = l

(i, k = \,.... n).

Уравнения Лагранжа, исходя из выражений (8.99), принимают вид

2 (miuqh + kikqk)=0- (8.100)

А = 1

Частное решение этой системы линейных дифференциальных уравнений ищут в виде

qi = l,i sin (at + a), i = 1, .... n.

(8.101)

Подставляя выражение (8 iOl) для qi в дифференциальные уравнения (8.100), получим после сокращения на sin {at + а) следующую систему алгебраических уравнений, линейных относительно амплитуд h-

2 {kik-o>mik)lh=0 (8.102)

(f = l..... n).

Так как все амплитуды ; искомого колебания не должны обращаться в нуль одновременно, то определитель системы однородных

Выражение (8.98) для амплитуды b вынужденного колебания хотя и возрастает при приближении у к cOq, но не обращается в бесконечность, как это было при резонансе в отсутствие трепия.

Малые колебания системы с несколькими степенями свободы. Кинетическая и потенциальная энергии системы с п степенями свободы могут быть представлены в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами через обобщенные (независимые) координаты Qi и скорости Qi ( = 1, 2.....п):

где а и а - постоянные, определяемые из начальных условий; у ~ - частота вынуждающей силы.

Решение (8.95) неприменимо при у соо, т. е. в случае так называемого резонанса. В этом случае решение уравнения (8.94) имеет вид

1=01 cos (coo<-ba)-f

уравнений (8 102) должен быть равен нулю:

fej, - /Яц fei2 - is 21 - й Щ1 23 - 22

(8.103)

После раскрытия определителя в левой части получается многочлен п-й степени относительно со. Уравнение же (8.103) называется вековым уравнением или уравнением частот. Каждому корню со уравнения (8.103) соответствует частное решение (8.101) системы дифференциальных уравнений

(8.100) Корни векового уравнения всегда вещественный положительны.

8.8. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ РЭА И ЭКРАНИРОВАНИЕ

Уравнения электромагнитного поля и основные электродинамические задачи РЭА

Электромагнитное поле, возникающее в РЭА в процессе ее функционирования, характеризуется векторами Е и Н напряженностей электрического и магнитного .полей и векторами D и В электрической и магнитной индукций. К дифференциальным уравнениям электродинамики, называемым уравнениями Максвелла, принадлежат следующие соотношения:

1) уравнение, определяющее зависимость вихря магнитного поля Н от плотности токов проводимости j и токов смещения dD/dt:

1 аО 4п . 4п rotH=--- +- i-b-

с dt с с

(е).

2) уравнение, выражающее закон изменения индукции электрического поля при изменении магнитного поля:

1 дЪ

rot Е = ---;

с dt

3) уравнение, указывающее на отсутствие магнитных зарядов:

div В = 0;

4) уравнение, связывающее электрическую индукцию D с плотностью распределения зарядов р:

div D = 4пр,

где j - объемная плотность токов проводимости; j - плотность токов от сторонних э. д. с; р - объемная плотность зарядов; с - скорость света в вакууме. Для практических

расчетов j* = 0.

К этим уравнениям присоединяются так называемые материальные уравнения поля

D = 8е, В = рН, j = оЕ,

где 8 - диэлектрическая постоянная; р - магнитная проницаемость; о - проводимость среды. Для однородной и изотропной среды 8, р, а = const. Если среда неоднородна, то к уравнениям Максвелла следует присоединить условия сопряжения. На границе раздела двух разных сред (У) и (2) должны выполняться следующие условия:

£s* = £s - непрерывность тангенциальных составляющих вектора Е;

ni* = Hs - непрерывность тангенциальных составляющих вектора Н;

BnV = Bnl - непрерывность нормальных составляющих вектора

liV- =4яр или ei£{,V-e2 4V=4p,. где ni и Па - нормали к поверхности раздела двух сред; ps - поверхностная плотность зарядов.

В радиотехнике большую роль играют монохроматические (гармонические) колебания. Для этих колебаний зависимость от времени задается множителем е , а уравнения Максвелла записываются в виде:

rotH = -D + -j, (8.104)

rotE=-

(8.105)

div b = 4jxp, div В = 0.

(8.106) (8.107)

Здесь точки над векторами означают, что берется комплексная амплитуда соответствующего вектора.

Задачи анализа электромагнитных полей в РЭА можно разделить на внутренние и внешние. Внутренняя задача формулируется так: требуется найти решение уравнений Максвелла в области V, ограниченной извне поверхностью S, удовлетворяющее на S граничным условиям. При решении внутренних задач различают отыскание собственных полей (решение однородных уравнений) и отыскание полей заданных источников (решение неоднородных уравнений).

Среди внешних задач наиболее простой является задача излучения заданных источников в свободном пространстве. Она формулируется как задача решения неоднородных уравнений Максвелла при наложении условия излучения на бесконечности.

Основные принципы экранирования

Электромагнитное экранирование является наиболее радикальным средством защиты элементов, блоков и цепей РЭА от помех быстро-переменных электромагнитных полей. Исследование и расчет экранов базируются на применении уравнений Максвелла.

При изучении электромагнитных колебаний, длина волн которых существенно больше габаритных размеров экранов, можно пренебречь вторичными токами смещения в диэлектрике и все процессы исследовать в квазистационарном режиме. Применительно к задачам экранирования указанное допущение справедливо для частот . порядка 10 ...10 Гц. В экране будут проходить только токи проводимости с плотностью оЕ. При условии гармонических колебаний уравнения Максвелла (8.104) ... (8.107) в квазиста-ционарно.м режиме принимают вид

rot Н = оЕ, rot Е = -1шлН.

(8.108)

DSmwmi, Ж ОСтсть Ш ffcmovmK Уу Обяасть I

Рис. 8.6. к расчету ллоскогп экрана

Во всех задачах экранирования рассматриваемое пространство делится на три области, в каждой из которых интегрируются уравнения Максвелла. Это следующие области:

1) бесконечное пространство вне экрана, 2) экранированная внутренняя область, 3) объем стенок экрана

В первых двух областях, заполненных воздухом, проводимость d = = О и по уравнеиию-(8.108) rot Н = = 0.

Действие экрана учитывается через параметр Э - коэффициент экранирования, представляющий собой отношение напряженности электромагнитного поля в какой-либо точке пространства при наличии экрана (£э и Н) к напряженности поля в той же точке без экрана (£ и Н)

5=--г- = - , О < 5 < 1. с п

Плоский экран (рис. 8.6) представляет собой две параллельные пластины достаточно большого размера. Основные уравнения электродинамики в прямоугольной системе координат имеют вид

5£z

ду дН

дг дН

У г-

-=оЕх;