характеризуют электромагнитные процессы в металле экрана. Для воздушной области а = О и правая часть второй группы уравнений будет равна нулю.

Применительно к плоскому экрану уравнения электромагнитного поля упрощаются:

-1сорЯ , (8.109).

- = аЕ

(8.110)

Из системы (8.109), (8.110) получаем дифференциальное уравнение относительно Ех для экрана

=k E.,

(8.111)

где k = Vtopo - коэффициент вихревых токов. Для воздушного пространства вне экрана а = О и поэтому

-#=0- (8.112)

Решая уравнения (8.111), (8.112) и используя условия непрерывности, тангенциальных составляющих

Рис 8.7. К расчету цилиндрического экрана

тточнин

3 = [chft6]-i X Х 1+0,5(л/ + -

th feej ,

где 6 - толщина экрана; N = = 2д/2м; 2д = - сорб - волновое сопротивление диэлектрика (воздуха); Z = Т/1(йр/б - волновое сопротивление металла.

Цилиндрический экран (рис. 8.7). Основные уравнения электромагнитного поля в цилиндрической системе координат записываются следующим образом:

г i дЕг

- ш[1Нг,

дг г f

-1(йрЯ, дЕг

= - 1сорЯг. 1 дНг

дг Я

-=а£, 1

= оЕг, ф,

(8.113)

= оЕг.

С учетом симметрии для цилиндрического экрана уравнения (8.113) принимают вид

1 дЕ

дЕг дг

= iшtЯ,

ф>

г бф

электрического и магнитного по-= -1соцЯу; j,e0 на границе раздела сред ди-

электрик-экран и экран - диэлектрик, получим выражение для коэффициента экранирования плоского экрана

1 5£,

Ег

(8.114)

. I Ez для металла

1 О для воздуха.

Из решения уравнения (8.114) можно получить выражение для коэффициента экранирования цилиндрического экрана

5 = ( ch fe6)-i (1 Л- 0,5 (N +

-f MN) th fe6)-i,

где б - толщина экрана; 2д = = 1соц/-/п; Zm = Vitoi/o; n = 1, 2, ...; л - радиус экрана; N = - /дм

Аналогично можно получить характеристики для сферического экрана [16]

Методы расчета потенциальных полей РЭА

При расчетах электростатических полей РЭА решение уравнений Максвелла сводится к] отысканию одной скалярной функции - потенциала и, связанной с напряженностью Е поля соотношением: Е = = - grad и.

Используя уравнение Максвелла div Е = -4np, получаем

At/ = -4яр. (8.115)

Таким образом, потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона (8.115) в тех точках пространства, где находятся источники поля, и уравнению Лапласа

At/ = О

t - в тех точках, где источники отсутствуют.

Задача расчета поля сводится к определению потенциальной функции при заданных граничных условиях, т. е. заданных значениях потенциала, градиента потенциала или их комбинации на границах S области 1, в которой определяется

L поле.

В зависимости от вида граничного условия различают три основных вида граничной задачи для уравнений Лапласа и Пуассона:

1) и (х) <f (л:), когда х S - первая граничная задача или задача ди

Дирихле; 2) = яр (л;), когда

X S - вторая граничная задача ди

или задача Неймана; 3) + Pt/ =

= ф (х), когда X S - третья или смешанная граничная задача.

Получение решения сформулированных задач в большой степени зависит от выбора системы координат и метода определения потенциала

Основные методы расчета стационарных полей в РЭА следующие;

1) метод разделения переменных [33],

2) метод Г. А. Гринберга, применяемый для случая ненулевых граничных условий [34];

3) метод комплексного потенциала применяется для плоскопараллельных полей. При этом с помощью конформных отображений сложные формы граничных условий преобразуются в более простые, для которых решение может быть найдено относительно легко [30];

4) метод зеркальных изображений применяется для плоских и цилиндрических поверхностей области поля, сущность метода заключается в замене влияния границы на исследуемое поле дополнительной системой зарядов (или токов),

5) метод функции Грина [19];

6) метод интегральных преобразований [l9]

В силу известной аналогии между электрическими и магнитными полями можно использовать методы, определяющие электрическое поле, для расчета магнитных полей. При этом, очевидно, необходимо геометрическое подобие конфигураций обеих систем

8.9. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

Общие положения

Универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений для задач конструирования РЭА является метод ко-

Отсюда имеем уравнение для определения Ег.

i i+l H-1-\-\-

аргумента xi, t = 0, 1, .... N,

поставленную в соответствие не-прерывной функции U (х), называют сеточной функцией, определенной на сетке со [28].

По времени t также вводится разностная сетка для О < < Т ш. = = (и = /т, / = О, 1, .... No} с шагом т = T/No на отрезке О < / < Г. Множество .узлов (xt, tj) с координатами Xi = ih н tj = JT называется сеткой в прямоугольнике D и обозначается a)ft.j = {xt = ih, tj = /т}, которая состоит из точек пересечения прямых х - Xi, i - = О, 1, N- и прямых t = Т(, / = = О, 1, .... Л/(, (рис. 8.8, а).-

Всякой непрерывной функции и (х), заданной на отрезке [О, /], можно поставить в соответствие сеточную функцию yj, заданную на сетке (uf, полагая Уг = у (xi, %j) -

= t/i - f (Xt, Tj).

Аппроксимация простейших дифференциальных операторов. Дифференциальный оператор L заданный в классе функций непрерывного аргумента, приближенно заменяется (аппроксимируется) разностным оператором Л/i, заданным на сеточных функциях. Для этого каждая из производных заменяется разностным отношением, содержащим значения сеточной функции в нескольких узлах сетки. Множество узлов сетки,- используемое при написании разностного оператора, называется шаблоном этого оператора (рис. 8.8).

Первая производная LU = U -

f ил

дх = г- = f

с шагом h аппроксимируется следующим образом:

- левое разностное отношение, к

- правое разностное отношение (рис. 8.8, б).

При замене LU разностным выражением \hU допускается погрешность AhUi - {LU)i =Фь называемая погрешностью оператора

нечных разностей (или метод сеток).

Применение метода конечных разностей позволяет отказаться от упрощенной физической модели конструкции РЭА и учесть при математическом описании нелинейность коэффициентов дифференциального уравнения и граничных условий.

При использовании метода конечных разностей необходимо иметь информацию о погрешности разностной схемы, ее устойчивости и скорости сходимости решения разностной задачи к решению исходной задачи.

Сетки и сеточные функции. Для введения сеток и сеточных функций область изменения аргумента х О < X < I разбивается точками Xi == ih, t = О, t, .... Л/ на /V равных частей длины Л = Л/ каждая. Множество точек Xi = ih, t = О, !, 2, ...

N называется равномерной разностной сеткой и обозначается со = = {xi = ih, i = О, 1, Л/}, а число h - расстояние между точками (узлами) сетки co/i называется шагом сетки. Если hi = xt - - Xi-i зависит от номера i, то сетка coft называется неравномерной. Функцию у = у (xi) дискретного

Рис. 8.8. Сетка (а) и шаблон (б) для аппроксимации простейших дифференциальных операторов

t No