Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Расчет вибропрочности конструкции 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

L разностным оператором hn- Необходимо, чтобы при fi о эта по-погрешность стремилась к нулю

Для оценки порядка погрешности разложим и \х) в окрестности точки X - Xi по формуле Тейлора:

yi±,Ui±hUio(h)

и вычислим погрешность

Отсюда следует, что разностный оператор Л(/г аппроксимирует LL = и с первым порядком точности.

Вторая производная LU = U аппроксимируется на трехточечном шаблоне, состоящем из узлов Xi i, Xi, xi + i. Тогда

Ut+,-2Ui + Ui-,

AhLli =-

x k, t

Оператор V- аппроксимирует , X, i

U CO вторым порядком.

Для аппроксимации четвертой производной LU = и выбирается пятиточечный шаблон, состоящий из узлов ± М (fe = О, ± 1, ±2) Тогда разностный оператор

. * x xxx, I

Ui .-Wi-, + Wi-Wi+, + Ut+

аппроксимирует LU = {/ со вторым порядком.

На практике аппроксимация производных на многоточечных шаблонах используется редко, так как при увеличении шаблона обычно увеличивается объем вычислительной работы и ухудшается устойчивость разностной схемы

В дальнейшем используются обо--/значения

\ui=(Ui+,-Ui)lhi+u V-=(Ui+,-Ui ,)l2h=

Постановка разностных задач. Аппроксимация, сходимость и устойчивость. При аналитическом решении конструкторских задач .фи-

зическая модель объекта рассматривается как некоторая область G с границей S, в которой ищется решение линейного дифференциального уравнения

LU = / (л:), X G, (8.116)

удовлетворяющее дополнительным (краевым или начальным) условиям

Ш = [I {х), X S.

(8.117)

где f (х) и IX (х) - заданные функции, / - некоторый дифференциальный оператор.

Область G -f S непрерывного изменения аргумента заменяется множеством ш,1 внутренних узлоа и множеством Tj граничных yзлoJ сетки (й = (ufi -\- Tfi. Граничной задаче (8.116), (8.117) ставится в соответствие разностная задача

Jyh = 4>h, при X ш;

1нУк=Щ, X Th, (8.118)

где (л:) и Kfi {х) - известные

сеточные функции; и , - разностные операторы, действующие на сеточные функции i/,-.

Погрешность разностной схемы (8.118) равна

h=yh-Oh-

Подставив i/h = + t/fi в (8.118), получим задачу для г/,:

AhZh = il!h, X ш;

(8.119)

где = Ah Uh, VhVh-lhUh-

Правые части if/, и задачи (8.1 9) называются погрешностью аппроксимации задачи (8.116), (8.117) разностной задачей (8.118).

Говорят, что разностное уравнение (8.118):

1) аппроксимирует дифференциальное уравнение (8.116) по норме II II , если И II = II Ah(/ -фьН -

- О при h - 0;

2) аппроксимирует дифференциальное уравнение с порядком п {п > 0), если I111) II = О (Л ) или II ф 11 < Mh , где М = const > О и не зависит от h.

Решение разностной . задачи (8.118):



1) сходится к решению исходной задачи на сетке ш, если Ц = = \\Уп- UhW - О при

2) сходится к решению исходной задачи (8.116), (8.117) со скоростью О (Л ), ге > О, если выполняется

II II = 11 yh-yh\\<M\h\ .

где М > О - постоянная, не зависящая от h

Знание порядка аппроксимации недостаточно для суждения о качестве схемы. Необходимо оценить точность схемы, т. е. порядок погрешности Zh = yh - t/ft- Погрешность Zh есть решение задачи (8.119), с правой частью ipj, и v/,. Поэтому вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации сводится к вопросу о характере зависимости решения разностной задачи от правой части. Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных tpf, и Kh называется устойчивостью схемы. При этом справедливо неравенство

11 ZhlKMdh 11 + 11 Vhll). (8.120)

Если схема устойчива и аппроксимирует исходну1д задачу, то она сходится, причем порядок точности (скорость сходимости) схемы совпадает с порядком аппроксимации.

Таким образом, изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к изучению аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению оценок вида (8.120), называемых априорными оценками [29].

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

Явные и неявные двухслойные схемы. При расчете тепловых режимов РЭА часто ставится краевая задача в следующей формулировке: найти непрерывную в прямоугольнике D {О < X < I, О < < / < Г) функцию & = &(*:, 0. удовлетворяющую условиям:

0<х<г, 0<t <Т; (8.121)

д (0. О = Pi (О. * . о = Р2 (О: (8.122) #(j:, 0) = до(л;). (8.123)

Введем D в сетку со. = X X (0 = (Xj = ihr, tj = /т, t = = О, 1, Л; / = О, 1, yVo) с шагами h = Л/, т = TIN. Аппроксимируя производные

/ ад у+1

dt ]

и вводя сеточную функцию у{ =

= У tjh получим разностную краевую задачу

{/Г- г/1=Y 1 - { +yi+i)+

+ т(р + , 0</<Л/, />0;

Уо = Pl ih) У( = ?)5 y?=o{Xi). y=a T/h . Отсюда

{/j+=(l-2Y){/H V(/Li +

)-Ьт(р{+. (8.124)

Так как при / = О задано начальное условие yf = ©о (xj) то формула (8.124) позволяет определить от слоя / к слою / + 1 значения у{ во всех узлах сетки ш.., используя при этом краевые условия (8.122). Такая вычислительная схема (8.124) называется явной. Схема устойчива при условии aHih < 1/2 (рис. 8.9, а).

Неявная двухслойная схема для уравнения (8.121) имеет вид (рис. 8. 9, б)

г/1±{-2И+Ч?±!

Для определения yl на новом слое / -Н 1 получаем систему алгебраических уравнений вида

Уу1±\~{1+ 2v) f/i+ Ч w-1! =

= - /HV/. (8-125)



Рис. 8.9. Схемы шаблонов для явных (а) и неявных Гб) разностных схем

В отличие от явных схем, где каждое уравнение содержит одно неизвестное {/! , в уравнениях (8.125) имеется по нескольку значений, соответствующих искомому моменту времени / + 1 и различным точкам пространственной координаты Поэтому применение неявной схемы требует одновременного рещения системы N алгебраических уравнений Учитывая специальный вид матрицы коэффициентов этой системы, задача рещается методом прогонки [28] Неявная схема абсолютно устойчива и не накладывает никаких ограничений на величины щага по времени т и координате h.

Разностные схемы для уравнений Лапласа и Пуассона

При исследовании стационарного распределения электрического и магнитного полей, а также стационарного теплового режима РЭА обычно приходят к уравнениям Лапласа и Пуассона

At/ = 0, = -р.

где р - плотность источников заряда или тепла; U - потенциал; Д = д1дз? + dldy - двумерный оператор Лапласа.

Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Каждая из вторых производных оператора Лапласа

заменяется разносгными выражениями

U(x+h,y)-W(x,y) + &> и +Щх~к у)

U(x, y + h)-2U {x,y)+ ±U(x y-h)

где hi - шаг no оси x, - шаг no оси у.

Оператор Лапласа заменяется разностным оператором Ау = у- -j-

-f который определен на пя-

титочечном шаблоне ( крест ), состоящем из точек (рис. 8.10)

(X. у) {X - hi. у), {X -f- hi, у), {X, у - Аа), (х, у + Ag).

Погрешность аппроксимации для оператора Л равна

Л6-Д{/=0(ЛГ), А2=/,?-Ь/г2.

Для случая Ai = Аа =j Л (на квадратной сетке)




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.