8. Физико-математические основы конструирования РЭА В результате задаче (8.126), (8.127) ставится в соответствие разностная {x,y+fi задача Дирихле: найти сеточную

ь функцию у (xi, Уг), определенную

Z на (о/ удовлетворяющую во внут-

ренних узлах (на со) уравнению

Рис. 8.10. Схема шаблона Для аимринси. мации оператора Лапласа

Разрешив уравнение Ду = О относительно уо, получим

Уо = 0,25 (yi -f ь + Уз + 4).

Значение Uo в центре шаблона есть среднее арифметическое значение в остальных узлах шаблона.

Разностная задача Дирихле для уравнения! Пуассона. Задача Дирихле для уравнения Пуассона является основной при расчетах потенциальных полей и экранирования в РЭА. Она имеет вид в двумерном случае

д и д и

= -/ (X, г/) в области G = {OKx Kh, 0<у Kls);

l/s= р (X, у)

(8.126) (8.127)

Для решения задачи (8.126), (8.127) методом конечных разностей в области G + S необходимо ввести сет- ку и аппроксимировать на этой сетке уравнение и краевое условие.

В области G вводится сетка со/, с шагами hi = li/Ni и ftj = У-Правая часть f (х, у) уравнения (8.126) аппроксимируется сеточной функцией <р (xi, yi) так,. чтобы Ф(1. yd-f (х, у) = 0 {\h\ ). Оператор Лапласа А заменяется разностным оператором Ау =, у- +

-ф {Xi. yt)

(8.128)

и принимающую на границе Г;, заданные значения

y\s=-\>-{(i. Уй-

(8.129)

Задача (8.128), (8.129) решается методом итерации и имеет погрешность аппроксимации О (Л + h%)

Разностные схемы для уравнений колебаний и теории прочности

При расчете колебаний однородных одномерных систем краевая задача имеет вид

+ F (х, t) в области

G = {0 <х<1, 0<t<T}

I (О, t) = р, U). %{l.t) = И2 (О,

(8.130)

dl {X, 0) dt

l(x, 0) = oW,

- = I.(JC)

При численных расчетах в области G вводится прямоугольная сетка

= 0, 1, N; f = 0, 1.....N }

и производные, входящие в уравнение (8.130), аппроксимируются по формулам

Присоединяя разностные аналогии краевых и начальных условий, получим разностную задачу

Уи= c2t/j-f9; ф=ф(сь tj): (8.131)

1/0= pi(0; /N=t2(0;

у(х, 0) = l(Xi); yi+i =yi + + to(xj).

8.10. Теоретические основы конструирования РЭА с помощью ЭВМ

Отсюда получаем систему алгебраических уравнений для вы- (Vixy числения у = у{+:

= -Fi.O<i<N; Y

Fi={2y{-yr]-Ty-+

которая рещается методом прогонки. Погрещность аппроксимации схемы (8.131) есть величина О (т ---ЬЛ)

Разностная задача для системы уравнений теории упругости. Система уравнений равновесия однородного изотропного упругого твердого тела (конструкции РЭА) в случае плоской деформации имеет вид [20]

дхду

+Л = 0;

дхду + 2 = 0.

(8.132) (8.133)

где %, - коэффициенты Ламе; %i и I2 - перемещения по осям х и

у; Fi, F2 - проекции действующей

силы по X и у.

i Разностная схема, аппроксими-►.-рующая уравнения (8.132), (8.133),

имеет вид

(% + 2ii) {yi)r+li{yi)yy +

+ С + 1){У2)ху=-Ч>1 (8-134)

(К + [1){У1)у+[1(У2)хх + + (> -1- И) ({/2)да=-ф2.

где ф1 и ф2 -- аппроксимация действующих сил Fi и fj;

(yi)xx

4/212

- 5i( +Ai, y-hi) - li(x-hi. y-\-+ /i2)-ei( -Ai, y-h)\,

hi к - шаги no осям x к у.

Погрешность аппроксимации разностной схемы (8.134) равна О (Л? + hi).

8.10. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КОНСТРУИРОВАНИЯ РЭА С ПОМОЩЬЮ ЭВМ*

Принципы работы и структура ЭВМ

ЭВМ является преобразователем входной информации (числовой или буквенной) в выходную в соответствии с заданной программой. Входные данные, участвующие в преобразовании, называются операндами. Программа обработки данных состоит из последовательности команд, по которым выполняются операции (арифметические, логические и др.) над операндами.

Обобщенная структурная схема ЭВМ приведена на рис. 8.11. Устройство ввода (Увв) предназначено для ввода исходной информации (числовых данных или программы) в память ЭВМ. Ввод информации может осуществляться как автоматически посредством перфокарт, перфолент, так и непосредственно с клавиатуры пульта управления ЭВМ. Вводимая информация поступает на хранение в оперативную память (ОП) ЭВМ Устройство, в котором осуществляется преобразование входной информации, называется процессором. Он состоит, как правило, из арифметико-логического устройства (АЛУ) и устройства управления (УУ). УУ в соответствии с программой преобразования входной информации задает АЛУ последовательность и типы операций над операндами. Конечные или необходимые промежуточные результаты преобразований фиксируются посредством устройства вывода (Увыв) в следующих видах: печатью на бумаге, за-

-2i (x,y)+li(x-h y)\;

* Составители В. М. Курейчик, В. В. Лнсяк.

[lx{x+hi.y+h)- .

Устройстео вводо

vucm

номанд

Внештя память 1-

Оператавтя тмять

саеаам/

Ууправяёайя

числа

Устройство

Рис. п.II. Структурвап схема ЭВМ

писью на магнитные ленты, барабан, диски, перфорацией на перфокартах или выводом на устройства визуального контроля.

Автоматическое выполнение заданной программы и объединение ьсех устройств в единый комплекс аппаратуры обеспечивает УУ, которое структурно подразделяется на центральное УУ и местные УУ,- в соответствии с заданной программой координирует работу всех устройств ЭВМ, управляет обменом информацией как внутри машины, так и между машиной и внешней средой.

В соответствии с рассмотренной структурной схемой ЭВМ обобщенный процесс прохождения и пре-

образования информации (рис 8.12) можно представить следующими этапами:

- ввод входной информации с фиксированием в регистре Увв;

- перенос информации из регистра в ОП по адресам, указанным в программе;

- пересылка информации из ячейки ОП, с адресом указанным в программе, в АЛУ;

- преобразование информации в АЛУ посредством указанных в программе операций;

- пересылка результата преобразования из АЛУ в ячейку ОП по адресу согласно программе;

Рис. 8.12. Схема прохождения и преобразования информации в ЭВМ

Входния

ииформа-иия

Рввастр Увв

РГ.АЛУ

Резурыпат

Регистр УВыВ

РГ.АЛУ

\ Арифметало-логачесиое к уСтлоистао

Лроиессор