женной так, что полюсы подынтегральной функции лежат левее этой прямой.

Приведенные формулы (П-15) и (11-17а) используются главным образом в теоретических исследованиях. При расчетах в импульсной технике применяют разложение функции на простейшие дроби, для которых обратное преобразование Лапласа выражается экспоненциальными функциями. На практике обычно приходится искать реакцио на единичную ступенчатую функцию 1 (t), для которой преобразование Лапласа равно 1/р, с тем чтобы в дальнейшем воспользоваться интегралом суперпозиции (см. ниже). В этом случае

А(р) W(p).

М(р) рЩр)

(11-18)

Искомая реакция (переходная характеристика) определяется формулой

iV(0)

yJM-.V.dMSa) PtNiPi)

полученной в результате обратного преобразования Лапласа выражения (11-17а), предварительно представленного в виде суммы простейших дробей. Для вычисления h(t) необходимо найти корни pi, рг, -, рп уравнения N{p)=0, т. е. полюсы передаточной функции (11-16).

Для нахождения реакции на б-функцию (импульсной переходной или весовой функции) пользуются формулой

g(0=S

М (Pi) Pit

N (Pi)

полюсы не-

где по-прежнему pi, рг, рп редаточной функции W{p).

С помощью преобразования Лапласа сравнительно просто и удобно при анализе действия импульсов на линейную цепь производить учет начальных запасов энергии в электрических полях конденсаторов и магнитных полях индуктивностей (начальных условий), что является важным преимуществом этого метода [Л. 1].

Отметим, что между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье имеется тесная связь. Если в формулах (11-14) и (11-15) положить р=/(0, то получаются формулы прямого и обратного преобразования Фурье. С помощью той же замены операторная передаточная функция преобразуется в

частотную передаточную функцию КЦа>). Учитывая, что для б-функции А{р) = 1 и s((o) = l, из (11-12) и (11-17а) получаем формулы для импульсной переходной функции:

* Приведенные выражения справедливы, если все корни р....., р различны. При наличии кратных корней формулы будут несколько сложнее (см. [Л. II).

g(t)=~ К((о)е1Ы(о:

g(0=-j W(p)ePUp.

с-/оо

Последняя формула показывает, что импульсная переходная функция является обратным преобразованием Лапласа передаточной функции.

Рис. 11-13. К определению переходной характеристики цепи.

о - представление прямоугольного импульса в виде двух перепадов; 6 - к нахождению реакции параллельного колебательного контура на перепад тока I(t).

Суперпозиционный метод. Он применяется для нахождения реакции линейной цепи на импульсы произвольной формы и основан на использовании интеграла суперпозиции (интеграла Дюамеля - см. стр. 182). Для этого предварительно определяется переходная и импульсная переходная характеристики (функции). Заметим, что обе функции связаны соотношением

<>=-

Выходной сигнал определяется с помо щью суперпозиционного интеграла (Дюамеля)

b(t) = a(t)h(0) +

dh{t)

a{t - x)dx (11-19)

b(t) = a(t)h(0) + t

Jrla(x)g(t - x)dx. (ll-19a)

Интегралы выражений (11-19) и (ll-19a) называют сверткой функций g(t) и a(t). Смысл этих выражений состоит в том, что выходной сигнал в момент t получается как результат суммирования отдельных реак-

ций цепи на увеличенные в й(т) раз б-функции, приложенные в моменты времени т.

Чаще всего в импульсной технике встречается задала определения реакции цепи на единичный ступенчатый сигнал (единичный перепад), т. е. задача определения переходной характеристики цепи. Располагая этой характеристикой, не представляет труда найти выходной сигнал при действии прямоугольного импульса. Для этого достаточно представить импульс в виде суммы двух разнополярных перепадов величины f/ , сдвинутых на время (рис. 11-13, с), и сложить выходные сигналы, обусловленные каждым из перепадов в отдельности.

Пример. Найдем напряжение на колебательном контуре L, С, R при действии на вход перепада тока I(t) (рис. 11-13,6).

Преобразование Лапласа для перепада равно Т/р. Пользуясь закономТКирхгофа для контура и учитывая, что операционные сопротивления его элементов равны R, pL и IipC, получим:

1(р). Ulp) U(p)

р R pL

откуда для напряжения на контуре t/(p) найдем:

f/(p) = -

LI (р)

pLC-fp--fl

9 0 =

Соответственно передаточная функция

1Г(р)= =

Пр) р + 2ар + с,1

М{р) Nip)

Найдем полюсы передаточной функции, приравнивая нулю ее знаменатель, N{p)=0, т. е.

р2 -1- 2ар -f = О

р = -а± / ]/ coq - = -аzfc/to,

где а=(йо- 2, причем а<(й\ так как контур является колебательным.

Представим далее U{p) в виде, соответствующем формуле (11-18),

/(р)

t/(p) =

p[p + 2ap + al)

В соответствии с (11-18а) запишем:

N(0)

Pi N (Pi)

Pit-

Pi [2pi + 2a]

- a -)- /со -j- 2a -a-/сй-(-2а

coC

.-at

.-at

sin Ш,

Соответственно переходное сопротивление

h(t) =

.-at

и it)

/ it) coC

- sin at.

Если затухание мало, т. е. аС соо, то

со = СОо и

где р

u(t) = iy ~ е- sin сйо< = = /ре~ sin СОо?,

- волновое (характери-

стическое) сопротивление контура.

Если далее требуется определить напряжение на конденсаторе для импульса тока на входе, описываемого функцией a{t), то нужно воспользоваться интегралом суперпозиции (11-19).

Действие перепадов напряжений и токов на цепь RC

Для определения результата действия перепадов на цепи, состоящие из сопротивлений и конденсаторов, часто нет необходимости применять операционный метод. Удобнее воспользоваться следующими простейшими правилами.

Переходный процесс, вызванный действием перепада напряжения или тока на цепь, содержащую емкость и сопротивление, описывается выражением

b(t) = b(oo) - [b(oo)~b(0)]e =

= b(p)e 4-b(°°)

(11-20)

здесь b(oo) -напряжение или ток на любом участке цепи после окончания переходных процессов; 6(0) - напряжение или ток- н§) том же участке в начальный момент (т. е. сразу после действия перепада); т- постоянная времени цепи, равная произведению емкости на сопротивление, подключенное к нему (источники питания при вычислениях заменяются своими внутренними сопротивлениями) .

л я

Рис. 11-14. Схемы, иллюстрирующие (11-20).

применение формулы

В большинстве случаев величины 6( оо) 6(0) находятся достаточно просто с по-мощью законов Кирхгофа для постоянного тока. При определении 6 ( оо) емкость конденсатора заменяется разрывом цепи; при -определении 6(0) конденсатор заменяется батареей с э. д. с, равной начальному на- пряжению и со на конденсаторе. Если конденсатор не был заряжен, то его пластины следует считать замкнутыми накоротко.

Для перепадов напряжение на конденсаторе непосредственно перед действием и сразу после действия перепада будет одинаковым, т. е. для перепада каждый конденсатор является как бы коротким замыканием.

Уравнение (11-20) описывает процесс заряда или разряда конденсатора с учетом начального разряда, который был на нем в момент действия перепада напряжения или тока.

Пример 1. К цепи, состоящей из разряженного конденсатора С (нулевые начальные условия) и резисторов J? и в момент ./=0 подключается с помощью ключа Кл батарея с э.д.с. Е (рис. 11-14, а).

Найти напряжение на резисторе R.

Поскольку в момент <=0 на цепь, содержащую один конденсатор, действует пере-зпад Е, можно применить формулу (11-20). Тогда

u(t)=u (оо) - [и (оо) - и (0)]е

Для нахождения м(оо) конденсатор полагаем эквивалентным разрыву цепи (рис. 11-14, б). Отсюда

И(оо) = £

Rx+R

Для нахождения (0) полагаем, что пластины конденсатора замкнуты накоротко (рис. 11-14, е), т. е. м(0)=0. При определе-

г r\ \ -С 1еых 0 I i-0

2 3 Ч 5

Рис. 11-15. Прохождение импульсов через RC-фильтр верхних частот.

а - схема; б - прохождение прямоугольного импульса: / - входной импульс; 2 - выходной импульс при RC > t, 3 - выходной импульс при RC -С 4 - то же при учете паразитной ем-

кости С; 5 - то же при учете паразитной емкости и внутреннего сопротивления генератора импульсов; е - прохождение трапецеидального импульса: / - входной импульс; 2 - выходной импульс при 1ф < 1 < ti 3 - то же при

ник т считаем, что батарея замкнута накоротко, поскольку ее внутреннее сопротивление равно нулю(рис. 11-14, е). Тогда т=

=C{R\\Ri)=C . Следовательно,

uit) = E

R+Ri R

R+Ri ER R+Ri

- E-

R+Ri t \

1-е

Пример 2. Определить ток в цепи RC (рис. 11-15, а) и напряжения н и с при действии прямоугольного импульса U, t-Начальные условия - нулевые. Для тока во время действия импульса в соответствии с формулой (11-20) можно записать: