Величина индуктивности определяется геометрической формой и размерами проводника. Наиболее сильно индуктивность проявляется когда провод намотай на к а -тушках. В качестве примера вычислим индуктивность L длинной катушки из N витков (рис. 4-18).

Ток /, протекающий по катушке, создает внутри ее магнитное поле с индукцией

Поток (потокосцепление), участвующий Б создании э. д. с. самоиндукции,

Следовательно, индуктивность

(4-44)

4-6. ПЕРЕМЕННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

Синусоидальный ток

Ток, изменяющийся во времени по величине или направлению, называется переменным током. В технике наибольшее применение получил переменный ток, являющийся синусоидальной функцией времени (синусоидальный ток)

Im- амплитуда

f 2л \

мальное значение) период тока;

+ - фаза тока;

(макси-тока;

ф-начальная фаза тока (фаза в начальный момент времени f=0).

Величина, обратная периоду, называется частотой:

Поскольку механическое и тепловое действие тока пропорционально квадрату его значения, принято судить о величине периодического тока i по его действующему значению

(4-47)

(4-45)

Действующее значение синусоидального тока равно величине такого постоянного тока, который, проходя через сопротивление, выделяет в нем за то же самое время одинаковое количество тепла. Это значение I связано с амплитудой 1т следующей зависимостью:

/ = -. (4-48)

Приведенные здесь основные определения справедливы не только для синусоидальных токов, но и для других электрических величин, изменяющихся синусоидально во времени (э. д. с, напряжений, напряженностей поля и др.).

Метод комплексных амплитуд

Синусоидально изменяющийся ток 1 = Imi Sin (at + я)1)

символически можно представить (см. § 1-3) вектором OA (рис. 4-19,а), который расположен под углом ф: к горизонтальной оси (положительные ф откладываются против, а отрицательные - по направлению движения часовой стрелки) и имеет длину /ml. Если представить себе, что, начиная с =0, такой вектор будет вращаться против часовой стрелки (или оси координат будут вращаться по часовой стрелке) с угловой скоростью со, то окажется, что в любой момент t проекция вектора OA на вертикальную ось в принятом масштабе равна мгновенному значению тока h.

Считая Ох и Оу осями действительных и мнимых величин комплексной числовой плоскости (см. § 1-7), можно сопоставить вектору OA комплексное число

lmi=Jmxе = /ml(cos-f / sin Ifi),

(4-49)

Величина

-= 23Т/ (4-46)

измеряет скорость изменения фазы и называется угловой частотой.

Если у двух синусоидальных токов одной частоты начальные фазы не равны {рис. 4-19,6), то говорят, что они сдвинуты по фазе. Например, в случае рис. 4-19,6 ток i\ опережает по фазе ток ii на угол ф=ф1-a32>0.

Рис. 4-19. Символическое (а) и графическое (б) изображения ci нусоидальных токов, сдвинутых по фазе.

которое называется комплексной амплитудой тока tl.

Чтобы от комплексной амплитуды тока перейти к мгновенным значениям, нужно умножить комплексную амплитуду на е

/mie< + = /ml COS (м/ + + -f- misin (cof-f

н взять коэффициент при мнимой части полученного выражения, Т; е.

ti = ym(/mie ). (4-50)

Иногда переменный ток представляют не синусоидальной, а косинусоидальной функцией. Этот ток также может быть представлен вектором на комплексной числовой плоскости, но его мгновенное значение будет определяться проекцией вектора на ось действительных величин:

, = Re (/ 1в ). (4-51)

Угол сдвига фаз двух синусоидальных токов tl и 2 соответствует углу ф между изображающими эти токи векторами (рис. 4-19, а).

Приведенные символические представления (символический метод) в равной степени справедливы и для других синусоидально меняющихся электрических величин (а. д. с, напряжений, напряженно-стей поля и др.).

Электрическая цепь перемеиного тока

Переменный ток по сравнению с постоянным представляет собой значительно более сложное явление. Помимо внешних э. д. с, в цепях переменного тока действуют э. д. с самоиндукции и взаимоиндукции, наводимые переменными магнитными полями, окружающими проводники цепи. Энергия электрического тока преобразуется в проводниках и окружающем проводники пространстве в тепловую и механическую энергию, а также в энергию излучения (см. § 4-8). Области потерь энергии и области, занятые электрическим и магнитным полями, как правило, взаимно перекрываются. В этих случаях параметры электрической цепи переменного тока (сопротивление, индуктивность, емкость), распределены по длине проводников цепи (равномерно или неравномерно). Такую цепь называют цепью с распределенными параметрами (см. § 5-8 и 5-11).

Однако в ряде случаев (в основном на сравнительно низких частотах) удается отвлечься от рассмотрения столь сложной картины и полагать, что электрические поля, магнитные поля и области потерь энергии локализованы в соответствующих элементах цепи - конденсаторах, катушках индуктивности и резисторах, а эти элементы соединены монтажными проводами с нулевыми сопротивлениями, вокруг кото-

рых не образуются электрические и магнитные поля. Такая идеализированная цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами. Если при этом элементы цепи не зависят от тока и напряжения, то цепь является линейной.

Свойства элементов электрической цепи переменного тока определяются уравнениями, связывающими ток, протекающий через элемент, с напряжением на его концах. Если положительные направления токов и напряжений (э. д. с.) выбрать совпадающими (рис. 4-20), то эти уравнения имеют следующий вид:

для сопротивления

для индуктивности

для емкости

9 Г-

(4-52}

(4-53)

(4-54>

В качестве примера рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последова-

Рис. 4-20. Положнтель- Рис. 4-21. Электрическая ные направления токов, цепь переменного тока, э. д. с. и напряжений в элементах электрической цепи переменного тока.

тельного соединения R, L к С (рис. 4-21). по которой протекает ток

j=/mSin(cof-f If).

Напряжения на элементах цепи:

Uj== RIsin (Mf-f 1J5);

Uj = coL/sin со/ -f If -f -j :

,= sin(./-f--) или в символической записи (см. выше):

= (oLJe = ycoL/;

Uc =

/coC

Таким образом, напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение иа индуктивности опережает ток по фазе иа угол л/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока иа угол л/2.

В любой момент времени сумма напряжений на элементах цепи равна приложенной к цепи э. д. с.

= i? + L + с

Реактивное сопротивление

(4-64)

может иметь любой знак, в то время как индуктивное сопротивление

(4-65>

Отсюда следует закон Ома для цепи переменного тока:

и емкостное сопротивление

(4-55)

-I + (o,L--Jl, (4-56)

Отношение комплексных амплитуд напряжения (э. д. с.) и тока называется комплексным сопротивлением:

Z=- = Ze*- (4-57)

Модуль комплексного сопротивления

и и

\z\=-r =

(4-58)

называется полным (кажущимся) сопротивлением.

Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока Ф=фг1-фг (угол (р отсчитывается в направлении от вектора / к вектору U).

Комплексное сопротивление может быть представлено в виде суммы действительной и мнимой частей:

z = \z\ е* = \z\ cos ф -f / \z\ sin ф=

= r + jX, (4-59)

Здесь

r = \z\ cos Ф

(4-60)

называется активным сопротивлением;

x = \z\ sin Ф (4-61)

называется реактивным сопротивлением. При этом

\z\ = / 72 + х2 ; (4-62)

ф= arctg-Например, для цепи на рис. 4-21

z = r + }xr + jLl--

(4-63)

(4-66)

являются величинами положительными.

Свойства цепи на высоких частотах

Одна и та же электрическая цепь может быть представлена различными схемами в зависимости от задач исследования цепи и от диапазона частот, в котором цепь ис пользуется. На низких частотах катушки и конденсаторы цепи могут быть представлены на схеме лишь индуктивностями L и емкостями С. Но на высоких частотах иногда нельзя не учитывать активную проводимость диэлектрика конденсатора (утечка, потери в диэлектрике), активное сопро-

Рис. 4-22. К объяснению явления поверхностного эффекта.

тивление проводов катушки, емкость обмотки катушки и т. д. Основанием для подобного усложения схемы является степень совпадения результатов теоретического и экспериментального исследования цепи.

Важным свойством проводников цепи переменного тока, проявлявшимся на высоких частотах, является п\р верхнее т-ный эффект, который заключается б увеличении активного сопротивления проводника из-за вытеснения тока к его поверхности. На рис. 4-22 выделена нить тока и показано, что чем ближе такая нить расположена к центру сечения проводника, тем с большим числом магнитных линий она сцеплена и, следовательно, тем большая э. д. с. самоиндукции, противодействующая изменениям тока, возникнет в этой нити. В результате плотность тока оказывается неравномерно распределенной по поперечному сечению проводника; она больше к периферии проводника и меньше к его оси. Неравномерность плотности тока