(рис. 4-24). Конденсатор с потерями в диэлектрике принято характеризовать емкостью С и углом потерь й. Зная эти параметры, можно представить конденсатор с потерями любой нз эквивалентных схем на рис. 4-25, в которых емкости практически одинаковы

а активные сопротивления

Па =

шС tg 6

(4-69)

(4-70)

Рис, 4-23, К вычислению активного сопротивления круглого провода.

возрастает с увеличением частоты, диаметра провода, магнитной проницаемости и электропроводности материала проводника, В проводниках с высокой электропроводностью весь ток на высоких частотах концентрируется в тонком слое у поверхности проводника, поперечное сечение провода используется хуже н тепловые потери возрастают. Поэтому сопротивление постоянному току оказывается меньше сопротивления переменному току (активное сопротивление) .

Для определения активного сопротивления R- провода круглого сечения переменному току необходимо вычислить величину

*: = 0.044d

(4-67)

где d -диаметр провода, мм; f - частота, хгц; р - удельное сопротивление, ом мм/м, и по ней из графика на рис. 4-23 определить отношение R/Ro, где Ro - сопротивление провода постоянному току (см. § 4-3).

Рис. 4-24. Сдвиг по фазе тока и напряжения для конденсатора с потерями в диэлектрике.

Для медного провода

л:= 10,5d

V 1000

(4-68)

Потери в диэлектрике конденсаторов, яроявляющиеся на высоких частотах, приводят к появлению составляющей тока /а, которая совпадает по фазе с напряжением Ос, приложенным к конденсатору

Отношение

= i?a C = tg6 (4-71)

называют коэффициентом потерь конденсатора.

Величина, обратная коэффициенту потерь,

называется добротностью конденсатора.

Тепловые потери в проводах (и в сердечнике) катушки индуктивности учитываются активным сопротивлением R, включаемым на схемах последовательно катушке. Это сопротивление увеличивается с возра-

Рис. 4-25. Эквивалентные схемы конденсатора с потерями в диэлектрике.

станием частоты и может быть оценено с помощью графика на рис. 4-23. В результате зависимости активного сопротивления катушки от частоты добротность катушки

Ql = (4-73)

непропорциональна частоте и в некотором диапазоне частот может оставаться постоянной.

На высоких частотах начинают проявлять себя межвнтковые емкости катушек индуктивности. Появляются межвитковые емкостные токи и токи в витках катушки становятся неодинаковыми. На очень высоких частотах в результате влияния межвит-ковых емкостей эквивалентное реактивное сопротивление катушки может даже стать емкостным.

Векторная диаграмма

Векторной диаграммой называется совокупность синусоидальных напряжений и токов данной электрической цепи, представленных графически своими комплексными амплитудами в виде векторов на комплексной числовой плоскости. Поскольку частота всех напряжений и токов цепи одинакова, все векторы вращаются с одной и той же скоростью, но сдвинуты (по фазе) на постоянные углы друг относительно друга. Это позволяет считать векторы неподвижными, а оси - вращающимися в противоположную сторону. Общий поворот такой системы векторов не меняет соотношений между ними, и его можно не принимать ео внимание, начиная построение диаграммы с вектора тока (или напряжения), направленного вдоль действительной оси.

Рис. 4-26. Векторная диаграмма для цепи на рис. 4-21.

Например, построение векторной диаграммы для цепи на рис. 4-21 можно начать

с вектора тока /, отложив его в масштабе тока вдоль горизонтальной оси (рис. 4-26). Падение напряжения на активном сопротивлении Ur = IR совпадает по фазе с током. Напряжение на индуктивности (7ь = =j(i)LI опережает ток на я/2, а напряжение иа емкости Uc = llj(i>C отстает на я/2 от тока. Геометрическая сумма напряжений и.в, Ul ч Uc равна приложенной к цепи э. д. с. S.

Уравнения Кирхгофа для цепей переменного тока

Метод комплексных амплитуд создает значительные удобства при использовании уравнении Кирхгофа для анализа цепей переменного тока. Представив синусоидально изменяющиеся напряжения и токи комплексными числами, мы получаем возможность геометрические операции иад векторами заменить алгебраическими операциями над комплексными числами и, таким образом, формально свести все соотнощения и зако-

ны переменного тока к соотношениям к законам постоянного тока. Конечно, это можно сделать лишь для случая установившегося режима в линейной цепи с синусои-. дальными э. д. с. одинаковой частоты. Для такой цепи алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, сходящихся в узел, равна нулю, а алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на всех сопротивлениях (включая и внутренние сопротивления источников) любого замкнутого контура равна алгебраическо* сумме мгновенных значений э. д. с. всех источников тока, действующих в этом контуре.

После замены суммирования мгновенных значений синусоидальных величин суммированием изображающих их комплексных амплитуд законы Кирхгофа можно выразить следующим образом.

Сумма комплексных амплитуд токов в проводах, сходящихся в узел, равна нулюз

S /k= 0.

(4-74J

Сумма комплексных амплитуд э. д. с всех источников тока в любом замкнутом контуре схемы равна сумме комплексных амплитуд напряжений на всех сопротивлениях этого контура:

Si= ikZk. (4-751

t=i fc=i

Мощность переменного тока

При рассмотрении энергетических процессов в цепи переменного тока используют несколько понятий мощности.

Мгновенная мощное тд> равна произведению мгновенных значений тока № напряжения на участке цепи:

p = ui = Um sin at Im sin (at - <p) -

= t cos Ф - 7/008(2(0/ -<p), (4-76}

где и и / --действующие \значения напряжения и тока. \

Отрицательный знак мгновенной мощности в некоторые моменты времени означает, что в эти моменты энергия направляется не от источника тока к данному участку цепи, а, наоборот, возвращается источнику тока.

Активная мощность характеризует потери энергии тока за 1 сек в активных сопротивлениях цепн (иа нагревание, излучение или осуществление механической работы). Она измеряется в ватта: и определяется средним значением мгновенной мощности за период:

Я = W cos ф == IR =. --- . (4-77 К

Реактивная мощность связана с реактивными сопротивлениями, которые не-риодическн накапливают энергию, а затем возвращают ее источнику, но сами эяер-

гию не поглощают. Единица измерения реактивной мощности называется вольт-ампер реактивный (вар). Реактивная мощность может быть вычислена по формуле

Q = t;/ sin ф = IX = , (4-78)

Реактивная мощность положительна при отстающем тоКе (ф>0) н отрицательна при опережающем токе (ф<0).

Например, если через индуктивность L протекает ток с действующим значением /, то

Q = aU. (4-79)

Если к конденсатору С приложено напряжение с действующим значением U, то

Q = -иШ. (4-80)

Полная мощность определяется произведением действующих значений напряжения и тока в участке цепи

S = UI. (4-81)

Единица измерения полной мощности называется воль т-а м п е р (ва).

Отнощение активной мощности к полной Р

- = C-OS ф (4-82)

называется коэффициентом мощности.

Активная, реактивная и полная мощности связаны следующими соотношениями:

S = ]/p2-f Q2. Q

(4-83) (4-84)

Активная и реактивная мощности могут быть вычислена по комплексным амплитудам напряжения и тока. Для этого нужно

умножить комплексное напряжение U на число, сопряженное с комплексным током /, Это произведение называется комплексной мощностью S. Действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а коэффициент при мнимой части - реактивной мощности:

S = и I* = P + jQ.

(4-85)

Модуль комплексной мощности равен полной мощности:!

\s\s.

Некоторые авторы определяют комплексную мощность S как произведение комплексного тока / и числа, сопряженного с

комплексным напряжением U. В этом случае

.S=t;*/ = P-/Q;

S = s.

4-7. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Колебания

Электрическими колебаниями называются многократно повторяющиеся изменения напряжений и токов в проводниках или напряженностей электрического и магнитного полей в простраистве вблизи этих проводников.

Такой колебательный процесс может возникнуть, например, если зарядить конденсатор С до напряжения Uq, а затем замкнуть его на катушку индуктивности L (рис. 4-27). Возникающий в контуре lc

Рис, 4-27. Схема разряда конденсатора на катушку индуктивности.

разрядный ток i, проходя через катушку создает магнитное поле, которое продолжает расти до тех пор, пока ток не достигнет максимального значения. При этом вся энергия, запасенная электрическим полем конденсатора, переходит (с точностью до потерь в активном сопротивлении проводников) в энергию магнитного поля катушки. Несмотря на то, что конденсатор полностью разрядился и напряжение на нем упало до нуля, ток в контуре lc не прекратится, а будет поддержан э. д. с. самоиндукции, и конденсатор начнет заряжаться в обратном направлении. В конце первого полупериода конденсатор оказывается снова заряженным (за вычетом потерь) и энергия магнитного поля катушки снова переходит в энергию электрического поля конденсатора. Начиная с этого момента, ток в контуре меняет знак и процесс воспроизводится в обратном направлении. Так заканчивается полный период колебательного разряда конденсатора на катушку индуктивности. Система возвращается в исходное положение, и начинается следующий период колебаний

Если предположить, что колебания осуществляются без потерь энергии, то, применяя второй закон Кирхгофа к цепи разряда конденсатора, получим:

dt С

i dt = 0.

дифференцируя это уравнение по времени, получим дифференциальное уравнение второгопорядка (см.§ 1-9)

dt

i=0.