i + r

зуемой параметром -т- . Значения дейст-Л

вительной и мнийой составляющих приведенного входного сопротивления отрезка линии определяются далее как проекции точки пересечения указанных окружностей на прямоугольные действительную и мнимую оси номограммы.

По номограмме можно определять и приведенные значения входной проводимости отрезка линии, зная его длину I, волновое сопротивление W и проводимость нагрузки Ун. Входная проводимость такого отрезка линии определяется выражением

Гя + / - tg 2ir -

1-Ь/Ун Wtg2n

, (5-40)

формально идентичным выражению (5-38), описывающему входное сопротивление линии. По этой причине можно соверщенно одинаково пользоваться номограммой, как для определения приведенных значений проводимостей, так и сопротивлений. Величины g я Ь, обозначенные на осях номограммы, представляют собой соответстнен-но действительную и мнимую составляющие приведенной входной проводимости линии. Входная проводимость линии находится по приведенной входной проводимости с помощью соотнощения

S b

В ряде случаев более удобной оказывается круговая номограмма, построенная в полярных координатах (рис. 5-51), а принцип ее построения иллюстрирует рис. 5-52. Мнимой оси плоскости сопротивлений соответствует окружность радиусом, равным единице. Точка ф=0 на этой окружности соответствует бесконечно удаленной точке на плоскости сопротивлений (z= оо на рис. 5-51). Точка <р=-я иа этой же окружности соответствует началу координат плоскости сопротивлений (г=0 на рис. 5-51). Центр окружности г=1 характеризует сопротивление Z=W. Помимо этого, на номограмму нанесено семейство окружностей, центры которых расположены на горизонтальном диаметре первой окружности, а радиусы определены из выражения

Pi =

Каждая из окружностей этого семейства проходит через точку г= оо (окружность с центром Жг на рис. 5-52). Любая окружность этого семейства представляет собой геометрическое место точек, характеризую-

щих приведенные сопротивления ,с равными активными компонентами г. Поэтому они называются г-окружностямн.

Далее на номограмму наносится семейство окружностей, называемых ;с-окружно-стями, центры которых расположены на вертикальной прямой, проходящей через точку z=oo. Все точки этих окружностей соответствуют приведенным сопротивлениям с равными реактивными компонентами х. Радиусы их определяются выражением p2=llx. Все окружности также проходят через точку г=оо. При х=0 ф2=оо. Вещественной оси плоскости сопротивлений соответствует, таким образом, горизонтальная ось номо-

Ось ситиВт/х

Рис. 5-52. К построению круговой номограммы в полярных координатах.

граммы. Положительным значениям х соответствуют окружности, расположенные выше, а отрицательным - ниже этой оси. Вычислив приведенное сопротивление нагрузки линии

г\х.

и нанеся соответствующую точку на номограмму (в месте пересечения г и дс-окруж-ностей), возможно: определить коэффициент отражения р, коэффициент бегущей волны т (значения этого коэффициента указаны на концентрических окружностях, построенных из центра г=1), входное сопротивление нагруженного отрезка линии. При этом следует иметь в виду, что /-окружностям (рис. 5-50) соответствуют на рис. 5-51 прямые, проходящие через точку г=1, а т-окружностям (рис. 5-50) - концентрические окружности с центром в г=1. Нанеся на номограмму, точку гн=г-4-/:к для определения входного сопротивления нагруженного отрезка линии, ее следует переместить как это показано на рис. 5-52, вдоль соответствующей концентрической окружности до пересечения с /-прямой (радиусом основной окружности номограммы), параметр которой ~+ ~ должен быть определен указанным выше способом. Новая точка номограммы, полученная в месте пересечения концентрической окружности с соответст-

вующей Z-прямой, определяет приведенное значение входного сопротивления отрезка линии, которое может быть прочтено на проходящих через эту точку г- и л:-окружио-стях. Абсолютное значение входного сопротивления определяется далее путем умножения приведенного его значения на величину волнового сопротивления линии W.

Однородные линии с потерями

Когда не представляется возможным пренебречь потерями энергии в линии, для анализа происходящих в ней процессов следует пользоваться уравнениями, составленными на основании эквивалентной схемы отрезка линии бесконечно малой длины (см. рис 5-34).

Если линия с потерями возбуждается генератором синусоидального напряжения, включенным в сечении х=0, то напряжение, действующее между ее проводами, и ток, протекающий в любом сечении линии, могут быть определены путем решения следующих дифференциальных уравнений:

ди di

di ди

GoM-fCo

здесь Re - полное продольное сопротивление единицы длины, включаемое в эквивалентную схему последовательно с индуктивностью Lo и определяемое суммой погонных сопротивлений всех токопрово-дящих элементов линии; Go - полная поперечная проводимость единицы длины (проводимость утечки), включаемая в эквивалентную схему параллельно с емкостью С.

В рассматриваемом случае (при синусоидальном возбуждении) эти уравнения могут быть приведены к виду:

ZoYoI,

где Zo=i?o+/tt>Lo; Fo=Go+/cuCo;

V, I - комплексные амплитуды соответственно напряжения и тока в линии.

Решения этих уравнений представляются функциями:

U(x) = Ae + Ве~:

где Y - комплексная величина, называемая коэффициентом распространения (постоянной распространения).

Y = KzoFo=a-f/р.

Величины а и Р имеют сложную зависимость от параметров линии и для наиболее часто встречающегося случая малых потерь

(nLo

Со соСо

с достаточно хорошим приближением выражаются соотношениями:

VLoCo.

Величина а характеризует собой уменьшение амплитуды напряжения (или тока) на единице длины линии и называется коэффициентом затухания.

Величина Р, как и в случае линии без потерь, характеризует собой изменение фа-, зы колебаний на единице длины линии и называется коэффициентом фазы.

Волновое сопротивление W линии с потерями в общем случае также является комплексной величиной и определяется выражением

Установившийся процесс в линии в наиболее общем случае можно представить как сумму двух электромагнитных волн, распространяющихся во взаимно противоположных направлениях с одинаковыми (по модулю) скоростями

v~-

VioCo

Амплитуда каждой из этих волн является функцией координаты сечения линии, причем амплитуда прямой (падающей) волны уменьшается в сторону нагрузки, а амплитуда обратной (отраженной) волны уменьшается в сторону генератора.

Напряжение и ток в любом сечении линии могут быть определены с помощью соотношений:

и (X) = и, ch ух + / U7 sh ух; 1 (х) = / ch ух-\- sh ух;

(5-41)

где к Ig - соответственно комплекс-

ные амплитуды напряжения и тока в месте включения нагрузки;

и (х) и / {х)~ комплексные амплитуды напряжения и тока в сечении X линии. Отношение комплексной амплитуды падающей волны напряжения (тока) и комплексной амплитуде отраженной волны напряжения (тока) в месте включения нагрузочного сопротивления называется коэффициентом отражения по напряжению (то-

ку) и, как и в случае линии без потерь, определяется выражениями (5-26), (5-27).

Входное сопротивление отрезка линии с потерями, нагруженного на произвольное комплексное сопротивление Zn, определяемое как отношение напряжения к току.

0,1 0,01

0 > к 3X > 3X 4 4 4 г

Рнс. S-53. Входное сопротиЕленне ко-роткозамкнутого отрезка ливин с потерями.

вычисленное для сечения л;=0 (генераторного конца отрезка линии длиной f) и учитывающее как прямые, так и отраженные волны, является в общем случае комплексной величиной и может быть определено из соотношения

(5-42)

Ниже приводятся значения входного сопротивления отрезка линии с потерями для некоторых важных с практической точки зрения частных случаев.

Конец отрезка линии замкнут накоротко (2к=0). Распределение напряжения и тока в линии характеризуется равенствами

l\x) = /в ch yl; и (х) = /в sh у/.

а величина входного сопротивления - вы- ражением

thaf+ /tgpi

2вх = и71Ь/ = и7

l+/tha/tgp/

(5-43)

На рис. 5-53 схематически изображена зависимость величины входного сопротивления короткозамкнутого отрезка линии с фиксированным значением а от его длины При 1=п%/2 входное сопротивление с высокой степенью точности можно считать чисто активной величиной, значение которой равно:

Погрешность последнего приближения тем незначительнее, чек меньше потери в линии. При 1=7\./4+п7\./2 входное сопротивление оказывается равным:

Zbx = Rbx =

thai

Погрешность приближения и здесь уменьшается при уменьшении потерь.

Конец отрезка линии разомкнут (2и=со). Распределение напряжения и тока характеризуется выражениями

/(A)=shY/; U{x) = V cbyL

Входное сопротивление оказывается равным:

Zbx - Бх -

thyl

И Б случае малых потерь

Zbx я Kaf при Z=

при 1 = -

4 2 пЯ

Практически погрешности сделанных приближений можно не учитывать, если

Ы < 0,1 и aZtgPi < 0,1.,

Переходные процессы в однородных длинных линиях

Подключение отрезка линии к источнику постоянной э. д. с. При подключении нагруженного отрезка линии к источнику постоянной э. д. с. в линии возникает переходный

Рис. 6-54. К анализу переходных процессов в линии.

процесс, длительность и характер которого зависят от соотношений между внутренним сопротивлением источника э. д. с, волновым сопротивлением линии и сопротивлением нагрузки.

Пусть отрезок однородной линии без потерь, имеющий длину / и волновое сопротивление W в момент времени /=0, подключается к источнику постоянной э. д. с. Е (рис. 5-54). Будем считать, что ключ К срабатывает мгновенно и в замкнутом состоянии имеет нулевое сопротивление, а линия при /<0 лишена каких-либо запасов энергии. Рассмотрим некоторые частные случаи.