значений функции f(t) оказываются при этом настолько далеки друг от друга, что наложение на сигнал максимально возможной помехи макс не сможет перевести значение функции с одного уровня на соседний по величине уровень.

Рис. 2-15. К выбору шага квантования.

Такой способ отсчета позволяет на приемной стороне отделить сигнал от наложенной на него помехи путем возвращения каждого из переданных значений функции к заранее выбранным уровням сигнала.

Число таких разрешенных уровней сигнала

где t/jKiKc - максимальный уровень передаваемого сигнала; 5-разность между соседними по величине уровнями (шаг квантования).

Выбор конечного числа т разрешенных уровней для передачи непрерывной функции времени называется квантованием.

При квантовании в сигнал вносится ошибка, называемая шумом квантования. Но эта ошибка окупается тем новым свойством, которое приобретает сигнал: он может передаваться от ретранслятора к ретранслятору без дальнейших искажений помехами, если только эти помехи, принимаемые каждым ретранслятором, не настолько велики, чтобы переводить значение сигнала с одного уровня на другой. Внося помеху квантования, можно избавиться от всех других помех, если только при каждой ретрансляции эти помехи не превышают половину шага квантования б. Возвращением сигнала к разрешенным уровням при каждой ретрансляции можно устранить неприятнейшее свойство помех - накапливаться при каждой ретрансляции сигнала.

При квантовании число передаваемых значений сигнала становится конечным. Если принятый сигнал лежит между двумя разрешенными уровнями, то ему приписывается ближайший уровень и ошибка не совершается, если выполнено условие

ьмакс <

Квантование сигнала и дискретизация его во времени открывают возможности кодирования непрерывной функции времени.

Приняв выбранные уровни за элементы кода, т. е. взяв число т за основание ко-

6)1 г с

;1,

Рис. 2-16. Кодирование непрерывной функции времени.

а - дискретизация; б - код с основанием, равным числу уровней квантования; в - двоичный код.

да, МЫ можем передать каждый отсчет функции f(t) одним импульсом, высота которого кратна шагу квантования (рис. 2-16,6):

U = ib, где t = 1, 2,..., m.

Полное число таких элементов (импульсов) в сигнале длительностью Т (см. § 2-3)

n = 2FT.

Однако выгодней передавать значения непрерывной функции кодом с меньшим основанием т. В этом случае каждое значение функции передается не одним элементом кода, а той или иной комбинацией из элементов кода. Следовательно, число п элементов сигнала возрастает, но число уровней закодированного сигнала уменьшается, что приводит к энергетическому выигрышу.

Наиболее выгодной является передача непрерывного сообщения при помощи двоичного кода (рис. 2-16,6), так как в этом случае сигнал должен лишь вдвое превосходить максимальную помеху, чтобы можно было отличить наличие посылки от ее отсутствия. Этот случай называется кодов 0-и мпульсной модуляцией (КИМ).

В системах связи с кодово-импульсной модуляцией передаваемый первичный сигнал ограничивается по спектру так, чтобы исключить все частоты выше некоторой частоты F. После этого с сигнала снимаются отсчеты со скоростью 2 отсчетов в секунду. Отсчеты затем квантуются и кодиру-

ются. с помощью полученных кодовых групп осуществляется тот или иной вид модуляции (АИМ, ДИМ, ЧИМ или ФИМ) высокочастотного переносчика. Модулированные колебания излучаются, распространяются в виде электромагнитных волн до места приема, принимаются приемником и детектируются. Принятые кодовые группы декодируются и образуют последовательность импульсов, пропорциональных первоначальным отсчетам (не считая искажений, вызванных квантованием). Эти импульсы пропускаются через фильтр нижних частот с частотой среза fcp=f для восстановления первоначального сигнала.

Кодово-импульсная модуляция позволяет получить значительно больщую помехоустойчивость, чем все другие системы связи, так как допускает прием при самом низком отнощении сигнала к помехе. По-выщение помехоустойчивости достигается путем расширения спектра сигнала. Действительно, чтобы передать сигнал с шириной спектра F при помощи кодово-импульс-ной модуляции, необходимо передавать 2F отсчетов в секунду. Если каждый отсчет состоит из одного импульса, то достаточной оказывается полоса 2 F. Если же осуществлен переход к коду с меньшим основанием и каждый отсчет передается кодовой группой из п импульсов, то требуется в и раз более широкая полоса:

где п - число импульсов в кодовой группе.

В условиях рис. 2-16 переход к двоичному коду потребовал удвоения числа импульсов и, следовательно, всего лишь удвоения требуемой полосы. В реальных системах КИМ требуется, конечно, значительно большее увеличение полосы пропускания, но соответственно достигается и значительно больший выигрыш в помехоустойчивости.

Кодово-импульсная модуляция находит применение в радиорелейных линиях, используемых для связи, телеметрии и управления. Весьма перспективно использование КИМ в каналах связи, предназначенных для ввода информации в электронно-вычислительные машины и для извлечения информации из них.

2-7. ОПТИМАЛЬНОЕ КОДИРОВАНИЕ

Чем больше число событий или состояний какого-либо объекта, подлежащих кодированию (например, чем больше число т разрешенных уровней квантованного сигнала), тем больше двоичных символов содержат кодовые группы. Легко понять, что кодовыми группами из Пх двоичных символов можно закодировать

т= 2

событий. Действительно, существуют лишь две кодовые группы, состоящие из одного

7/1 о

символа (О, 1), четыре группы, состоящие из двух символов (00, 01, 10, И), восемь групп, состоящих из трех символов (ООО, 001, 010, 100, 011, 101, ПО, 111) и т. д.

Практически более важным является обратный вопрос: лз скольких двоичных символов состоят кодовые группы при кодировании m событий? Ответ на этот вопрос

ni=log2m (2-21)

представляется очевидным лишь для случаев, когда число m является целой сте--пенью двух. Однако справедливость этого ответа может быть продемонстрирована для любого целого числа т, если под щ понимать минимально необходимое среднее число двоичных символов в кодовой группе, достигаемое при оптимальном кодировании. При этом оптимальным кодом называют такой код, который не только будет иметь в среднем наиболее короткие кодовые группы, но и полностью исключает возможность ошибок, связанных с неоднозначностью декодирования.

Одним из примеров оптимального кода является код Фэно. При использовании этого кода все кодируемые события делят на две группы, которые обозначают символами 1 и 0. Затем каждую из групп событий делят на две подгруппы, которые обозначают символами 1 и О во втором разряде и продолжают такое разбиение до тех пор, пока все подгруппы событий не будут содержать лишь по одному событию. При этом максимальной экономичности (т. е, наименьшего числа символов на одно событие) можно добиться, если каждый раз осуществлять разбиение на две подгруппы, насколько можно близкие по размеру.

Например, для кодирования шести событий код Фэно дает следующий результат:

При декодировании такого кода ошибка из-за неоднозначности невозможна, так как ни одна длинная кодовая группа не совпадает в своем начале с короткой. Экономичность кода характеризуется средним числом разрядов. Для кодирования всех шести букв алфавита требуется 16 двоичных элементов (сумма знаков всех трех разбиений). Поэтому среднее число раз-

рядов на букву равно 16/6=2,67, что несколько больше, чем

И1 = logm = loga 6 = 2,58.

Но можно показать, что чем больше т, тем точнее оценивает эта формула среднее число разрядов, получаемое при оптимальном кодировании. Поэтому для повышения экономичности кода часто прибегают к искусственному увеличению числа кодируемых событий, объединяя их в блоки из нескольких событий [АА, АБ и т. д.) и сопоставляя каждому блоку свою кодовую группу (см. ниже).

Приведенное правило получония оптимального кода максимальной плотности (разбиение на две близкие по размеру подгруппы) справедливо лишь в случае равновероятных событий. В случае неравновероятных событий, подлежащих кодированию, это правило должно формулироваться по-новому: при каждом разбиении на две подгруппы событий суммарные вероятности в каждой подгруппе должны быть насколько можно близкими.

Пусть, например, нужно закодировать события А, Б, В я Г с вероятностями наступления соответственно 1/2, 1/4, 1/8 и 1/8:

А Б В Г

S S н m £ о

: 0,0 с

J га о о

00 001 001

Среднее число разрядов

1 1 3

+ -з + т--з=1 --

, В подобных случаях, когда

->=(i)

П,- = -l0g2P(i).

среднее число разрядов может быть подсчитано по формуле т

Пг=ЪР{1)п1 =

1=\ т

= -2P(0log2P(J).

Если же вероятности наступления кодируемых событий принимают какие угодно значения, не подчиняющиеся условию

Р(0= *

то разбиение на строго равновероятные группы невозможно и среднее число разрядов окажется несколько большим, чем

-2Р(/) logP( ).

Это различие будет особенно заметным при небольшом количестве событий и при больших отклонениях от равновероятности их наступления. Пусть, например, кодируются два события А я Б с вероятностями наступления Р (Л) =0,8; Р (Б) =0,2. Результат кодирования в этом случае очень простой: событию А сопоставляется символ 1, событию Б - символ 0. В среднем получается один символ на событие. Между тем, полученная формула дает:

И1 = - i;p(/)iog2P(/) =

= - 0,8 loga 0,8 - 0,2 loga 0,2 = 0,722.

Один символ на событие на 28% хуже, чем 0,722 символа на событие.

Однако есть возможность приблизиться к цифре 0,722. Как и раньше, нужно искусственно увеличить число кодируемых событий. Это можно сделать, например, объединяя попарно события, передаваемые в сообщении, т. е. вместо сообщения

АЛБАБББААА

передавать пары (блоки)

АА, БА, ББ,БА,АА.

Число возможных событий при этом возрастает до четырех. Если события А и Б независимы, то вероятности наступления блоков из двух событий равны произведениям вероятностей Р {А) я Р(Б). Кодирование этих укруШ1енных событий приводит к следующему результату: