Теплопроводность по различным осям моделируется электрическими про-водимостями. В схеме рис. 1.21,6

gzc - 2Х

Ар Дг

где \ - удельная тепловая проводимость области.

Вследствие осевой симметрии моделируемого тела поверхности равных температур явл-нются поверхностями вращения, так что проводимости g,-оказываются включенными между точками равного потенциала. Поэтому при моделировании достаточно рассмотреть поведение единичного секторного слоя (приняв, например, Дер =1), что позволяет в качестве модели системы использовать двухмерную электрическую сетку в координатах риг.

Следует отметить, что все соображения, которые приводились при рассмотрении методов моделирования в сплошных средах относительно использования условий симметрии поля при моделировании, а также устранения влияния границ модели полностью сохраняются и в методе электрических сеток.

Рис. 1.22. Прием кройки и шитья при наборе области на электрической сетке.

Эффективным приемом, используемым при наборе области на электрической сетке, является кройка и шитье - разделение моделируемой области на части и сшивка, т. е. соединение отдельных частей с помощью проводников, включаемых между соответствующими узлами сетки на соединяемых границах. При наборе области, показанной на рис. 1.22, а в виде одного цельного участка, значительное число элементов сетки оказалось бы неиспользованным, т.е. за пределами контура, охватывающего моделируемую область. Из рис. 1.22, б видно, что для наиболее рационального использования электрической сетки моделируемую область следует разрезать на три части.

набрать каждую в отдельности и сшить узлы соответствующих границ этих частей проводниками.

Задание краевых условии в моделях типа электрических сеток в принципе производится так же, как описано выше, только вместо граничной решетки электродов используются граничные узлы сетки. Краевые условия первого рода задаются в виде распределения напряжений на границе сетки. Для этого граничные узлы сеток соединяются с соответствующими точками низко-омного резисторного или автотрансформаторного делителя напряжения. При задании краевых условий второго рода токи задаются с помощью источников, имеющих очень большое внутреннее сопротивление по сравнению с сопротивлением сетки. Краевые условия третьего рода задаются подобным же образом, но с помощью сопротивлений конечной величины. Практически токи задаются от делителей напряжения через значительные сопротивления. При решении уравнений Пуассона и Лапласа для стационарных полей с краевыми условиями второго рода эти сопротивления целесообразно выполнять реактивными в виде конденсаторов.

Подобным же образом задаются токи в узлы сетки при решении уравнении Пуассона. Источники и стоки задаются пропорционально величинам элементарных объемов, иа которые расчленяется моделируемая область. Простейшие резистивные сетки могут быть использованы не только для моделирования стационарных состояний, но и для исследования нестационарных процессов методом последовательных интервалов.

Идея использования чисто резистивных /?-сеток для моделирования нестационарных процессов состоит в дискретном задании интервалов времени. Нестационарное тепловое поле моделируется RC-cer-кои, т. е. резистивной сеткой с присоединенными в узлах емкостными стоками, токи которых

где напряжение в узле сетки моделирует температуру соответствующей точки поля ( Т).

Производную можно приближенно заменить конечными приращениями, т. е.

Рис. 1.23. Элемент резистивной i-сетки.

с = -Tt--Tt-~

где -интервал времени; Ы/7, 1-напряжение (температура) в начале интервала т,г. е в момент времени (т - 1) от начала процесса; ищ - напряжение (температура) в конце интервала т; R= - сопротивления резис-

торов, заменяющих емкостные стоки при дискретном задании интервалов времени и включаемых по схеме рис. 1.23.

Если с помощью делителей задать на сопротивления R напряжения т-If соответствующие температурам для начала рассматриваемого интервала т, то в узлах сетки получим распределение напряжений, соответствующих Urn, т. е. концу рассматриваемого интервала.

Задав новое распределение напряжений (температур) на делители источников, получим в узлах сетки распределение для следующего интервала. Таким образом, шаг за шагом можно исследовать нестационарное поле во времени для всей моделируемой области. Пользуясь методом последовательных интервалов, можно в процессе решения изменять параметры системы, представляющие некоторые функции температуры, т. е. практически учитывать нелинейность.

В резистивных сетках заложены возможности произвольного прерывания параллельного процесса решения, характерного для аналоговых устройств, что позволяет организовать последовательные циклы операций, дающие возможность учета нелинейности любого типа с помощью различных итеративных схем вычисления. Однако при этом увеличивается фактическое время решения, вследствие увеличения количества последовательных операции. Л1оделирующие. устройства, в которых для достижения точного подобия требуется осуществить некоторый вычислительный процесс, являются квазианалоговыми моделями.

Дальнейшее использование рассмотренного принципа дискретного про- ст,ранства и времени связывают с созданием полностью автоматизированных специализированных цифро-аналоговых комплексов [6] в виде сочетания ЦВМ с резистивной сеткой на кодоуправляемых сопротивлениях. Примером является отечественный цифро-аналоговый комплекс Сатурн , предназначенный для решения нелинейных краевых задач подземной гидравлики для нужд нефтяной и газовой промышленности.

За последние годы в СССР разработан ряд больших сеточных интеграторов. Приведем краткие сведения о модели УСМ-1 [20]. Универсальная сеточная модель УСМ-1 предназначена для решения краевых задач, сводящихся к уравнениям эллиптического и параболического типов, а также некоторых процессов, описываемых уравнениями четвертого порядка для областей одного, двух и трех измерении при задании граничных условии 1, 2 и 3-го рода.

УСМ-1 представляет достаточно сложную установку, состоящую из электрической сетки, устройств задания граничных условий 1-го и 2-го рода, набора функциональных преобразователей, измерительных устройств и ряда вспомогательных систем.

Электрическая сетка содержит 1458 узловых точек и выполнена из трех-координатных элементов, каждый из которых состоит из трех магазинов сопротивлении и одного магазина емкостей. Количество точек можно увеличить до 5832 за счет подключения дополнительных блоков. Набор значений магазинов сопротивлении производится с помощью сопротивлении, вмрнти-рованных в штеккеры.. Набором штеккерных сопротивлении можно изменять сопротивления сетки от 10 Ом до 10 кОм через 10 Ом. Сетка из плоской в объемную преобразуется сменой коммутационной доски.

Для увеличения точности моделирования какого-либо участка исследуемой области (увеличение масштаба моделирования данного участка за счет изменения шага сетки в 4 раза) используется дополнительная двухмерная сетка электрической лупы , содержащая 19 X 19 узлов точек.

При решении уравнении Лапласа и Пуассона постоянные граничные условия 1-го рода задаются в виде напряжений, а 2-го рода - с помощью токов промышленной частоты. Для задания переменных во времени граничных условии используются специальные функциональные устройства. Задание переменных во времени граничных условий производится программным устройством, осуществляющим ступенчатую или кусочно-линейную аппроксимацию функции для 75 ординат. Искомые значения функции находятся путем измерения напряжений переменного тока в соответствующих узлах сетки.

Для измерения напряжении используются ручное компенсационное измерительное устройство для стационарного режима и автоматическое нзме-