Задачи, решаемые с тмощш АВМ иа основе злетротоео модетроВания обыкновенных дшрферещиальних уравнений (расширенные бозможности АВМ)

J-,

Краевые и Вариационные

Статистаческого исЪледобания динамических систем

I I I

Вероятностные

Системы конечных уравнений

.Л I

-1 1

Построение и использование

специаливированных Вычислительных машин

Возможность пользования отдельных зле-ментов и узлов /\ВМ общего назначения

Рис. 5.1. Классификация задач, которые могут быть решены средствами АВТ.

Изменение параметров

Специальные устройства

Человек (эвристическое использование)

Задачи оптимального использования

Контроль исправности машины

Решение, обратных задач

Образование критериев оценки качества решения

Принятие решения

по изменению параметров Рис. 5.2. Классификация методов использования частного решения.

Свойства и преобразования дифференциальных уравнений 261

Методы аналоговых вычислений

Алгоритмические методы

Решение уравнений с частными производными

Решение интегральных уравнений Фред-гольма

Методы непосредственного моделирования

Решение систем обыкновенных

дифференциальных уравнений

Решение систем конечных уравнений

Решение краевых и вариационных задач

Решение задач математического программирования

Решение интегральных уравнений Вольтерра

Рис. 5.3. Классификация методов аналоговых вычислений. 2. Некоторые свойства,

целесообразные формы записи и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений

Формы записи

Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид F(x.y.y.....= 0. (5.1)

где F - некоторая функция независимой переменной д:, неизвестной функции у(х) и ее производных y(>)(k = 1, .... п).

Функция у - qi(x) называется решением дифференциального уравнения, если после подстановки у = ср(л:)-и производных у, у ,..., в уравнение (5.1) последнее обращается в тождество. В более общем случае имеют дело с системами дифференциальных уравнений

Pi(x. у,у{.....yf, у----, i/*----

(5.2)

где неизвестными являются функции yi.....Ущ (зависимые переменные).

Система функций

yi = Vi (X).....Ут = 9т1х)

называется решением системы уравнений (5.2), если после подстановки в (5.2) она обращает все уравнения в тождества. Система (5.2) называется линейной, если все функции Fc (i = 1..... т) линейны относительно yi,..., Ут- В уравнениях (5.1) и (5.2) старшие производные, определяющие порядок уравнений входят в уравнение неявно. Для решения на АВМ дифференциальные урав-

нения, как правило, представляют в форме уравнений, разрешенных относительно старших производных, т. е, в форме

F. = fi(* УЬ У1-----yi .....Ут, .....{/f* ).

i=\, .... /и. (5.3)

Систему уравнений (5.2) или (5.3) всегда можно представить в виде си-стемы уравнений 1-го порядка. Для этого вводят новые функции г:

- dx

( . ft,--2

i. fe.-r

(5.4)

Уравнения (5.3) при этом принимают вид

i. ft,-l

h (* iO Zj, 2mo

m, ft k-lb = 1.....

Вместе с уравнениями (5.4) они составляют систему нз ft = ftj -f- з + * + + уравнений, определяющих k функций: = j/j, гц, .... Zj, Z2o=

= д, 221. , Zg, .. . ; 20 = Ут. zi.-----В дальнейшем

рассматриваются системы уравнении вида

-Yx = hiyi.....у , x),i=\.

(5.5)

Если независимой переменной х является время t, то системы дифференциальных уравнений называются динамическими (описывают движение объектов и различные процессы во времени).

Если уравнения приведены к виду (5.5), то говорят, что они представлены в нормальной форме. Решение системы (5.5) при некоторых ограничениях на функции ft полностью определяется значениями функций у Уп в некоторой точке Xq из области определения функций fi, т. е. значениями

У±о = Vi {ЧУ. = У2. (ло): Ут> = Уп

которые называются начальными условиями системы (5.5).

Для практики важное значение имеет геометрическая интерпретация решения системы дифференциальных уравнений. Обычно каждая из функций У1={{) (интегральная кривая) представляется графиком, на котором по оси абсцисс откладывается независимая переменная х, а по оси ординат- зависимая переменная yi.