Проверка:

[х]1В = 7-8г + 3-8 + 1 -8° =

= 448 + 24 + 1 = 473.

3. г=16.

Воспользуемся обозначениями для цифр шестнадцатеричной системы, введенными ранее: .

*-- направление чтения числа [х\ 16 = 1г9.

Проверками = Ы6Ч 13-16 +9-16° = = 256 + 208 + 9 = 473.

Пример 2. Перевести число [х]Р=321, представленное в системе счисления с основанием р=4, в систему с г=2.

В этом случае имеем:

р = rh = 22; k = 2.

Для перевода четверичного числа заменяем каждый разряд этого числа двухразрядными двоичными числами

3 2 1

II 10 01-н 111001.

Четверичному числу 321 соответствует двоичное число 111001

Пример 3. Перевести восьмеричное число [х]в=763 в двоичное.

Имеем:

р = 8; г = 2; k = 3.

Для перевода восьмеричного числа заменяем каждый разряд этого числа трех-разряднымн двоичными числами

7 6 3*

III 110 011-111110011.

Восьмеричному числу 763 соответствует двоичное число 11Ц10011.

Пример 4. Перевести двоичное число М2=110Г100010 в четверичное.

Для перевода разбиваем двоичное число на группы, каждая из которых состоит из двух цифр и заменяем четверичной цифрой:

11 01 10 00 10

Т Т ~2 0 2 - 31202. .

Двоичному числу 1101100010 соответствует четверичное число 31202.

Пример 5. Перевести двоичное число Мг= 101110010 в восьмеричное. В этом случае двоичное число [х]2 разбиваем на группы по три разряда и заменяем каждую группу восьмеричной цифрой:

101 110 010

5 Т 2 -562.

Двоичному числу [х]2= 101110010 соответствует восьмеричное число [х]8=562.

Перевод правильвых дробей. Пусть дана правильная дробь [х]р, представленная в системе счисления с основанием р. Требуется представить ее в системе счисления с основанием г, т. е. найти правильную дробь [х]г. Предположим, что изображение дроби [х]р найдено и имеет вид:

[х]р = x-ip-1 + * 2р-2 + ... +

+ x (n i)p-( -i) + х р-, (24-63)

где x-i, х-2, х-п - цифры р-ичного системы счисления.

Умножив [х]р на г, представленное в системе счисления с основанием р, получим:

где Xj - целая часть, полученная в результате умножения правильной дроби [х]р на основание г; [х{[р- правильная дробь.

Умножив правильную дробь [х{\р снова на г, получим:

ГЫр = *2+[*2]р.

где *2 - целая часть, полученная при умножении дроби [Xi]p на основание г;

[х2]р - правильная дробь.

В результате такого последовательного умножения можно получить:

гЫР=*2-г-ЫР;

Г[ Хт [р = *т+1 + \ хт+1 }р

ИрЧ.+ки-1; [ilp+KU 1;

[Xm-l]p={xm+[xm]p)r =

[]p=(4T. + rvi]p)r-

Последовательной подстановкой получим выражение в виде

[х]р =х\ г1 + ( 4 + [ *,] р) г-2 =

=*; г- +4 ~2+( 4+ [ * ]Р) ~3=-

...=х[ г-г+х2г~2+ +( + + [хи 1]р)г--1>=4г-Ч4>-2+--+-+ ( 4 + [ *m] р) гт =Н ~Х +4 г~Ч

Округляя результат до единицы т-го разряда, получаем:

[х\р=х\г~1 +х2г-2Л-----Ь

Отсюда следует, что запись правильной дроби, представленной в системе счисления с основанием г, имеет вид:

[ X\r ~ L0, *3 *га-1 *га] *

Сформулируем правило для перевода правильной дроби из одной системы счисления в другую.

Перевод правильной дроби, представленной в системе счисления с основанием р, в систему с основанием г, осуществляется посредством последовательного умножения дробных частей на основание новой системы счисления г, записанное в системе счисления с основанием р. При каждом умножении выделяется целая часть полученного произведения. Целые части являются цифрами изображения заданной дроби в системе счисления с основанием г. Рассмотренный процесс продолжается до получения требуемой точности.

Пример 1. Перевести десятичную дробь [x]io=0,328125 в двоичную.

Десятичная дробь [х]ю=0,328125 в двоичной системе счисления представляется в виде

[x]s = 0,0101010...

Двоичная дробь округлена до единицы седьмого разряда, т. е. представлена с точностью до 2-7. Проверка: -1

[х]10 = 0-2-

1-2 +0-2-3 + 1-2-4 +

+ 0-2-5 + 1 -г-6 + 0-2-7 = 0 + - +

+ 0 + - +0+0 - + 0 = -jj- = 0,328125. 16 64 64

Пример 2. Перевести правильную десятичную дробь [x]w=0,9375 в восьмеричную систему счисления

Восьмеричная запись десятичной дроби 0,9375 представляется в виде 0,7400. Проверка:

[х]10 = 7-8-1 + 4-8Г* = -г- + =

= - =0,9375.

Пример 3. Перевести восьмеричную дробь [х]е=0,7321 в двоичную. Имеем:

р = 8; г = 2; k = 3.

Для перевода заменяем каждый разряд восьмеричной дроби трехразрядными двоичными числами:

7 3 2 1 111 011 010001

0,111011010001.

Восьмеричной дроби 0,7321 соответствует двоичная дробь 0,111011010001.

Пример 4. Перевести двоичную дробь [л:]2=0,0111111011 в восьмеричную.

Для перевода разбиваем двоичную дробь [х]2 на группы по три разряда, начиная со старших разрядов, и заменяем каждую группу восьмеричной цифрой

0, 011 111 101 100

>0,3754.

Двоичному числу 0,0111111011 соответствует восьмеричное число 0,3754.

Последняя неполная группа формируется путем добавления нулей, так как добавление нулей в дробных числах не изменяет величины дроби.

Перевод смешанной дроби. Перевод смешанной дроби из одной позиционной системы в другую производится путем перевода целой и дробной частей отдельно по правилам перевода для целых и дробных чисел.

Изображение смешанной дроби на основании формул (24-61) и (24-63) может быть дано в виде

[Х]р = хпрп + .+Xlp1+X1ffi +

+ P 1 + + Х т р~т = %Xkpk.

k=-m

(24-64)

Пример 1. Перевести смешанную десятичную дробь 37,53 в двоичную систему счисления.

1. Переведем целую часть:

<--направление чтения числа.

Десятичное число 37 в двоичной системе счисления изображается в виде 100101. 2. Переведем дробную часть:

и т. д.

Дробная часть 0,53 в двоичном изображении представляется числом с точностью

до единицы седьмого разряда в виде 0,1000011.

Смешанная десятичная дробь 37,53 в двоичной системе счисления представляется в виде

100101 +0,1000011 = 100101,1000011.

Формы представления чисел в цифровых машинах

Выделение порядка числа. В цифровых вычислительных машинах, как уже говорилось, все переменные величины представляются в виде и-разрядных чисел в некоторой системе счисления с основанием р.

Любое число х на основании формулы (24-64) можно привести к виду

x=2zffl[ £ xkpk-4), (24-65) fe=-m

где Xk - цифры 0, 1, р-1; q - порядок числа.

Например, десятичное число +315,872 согласно формуле (24-65) может быть представлено в виде

[х],о = 103(3- Ю-1 + 1 Ю-2 +

+ 5-Ю-3+ 8-Ю-4+ 7-10-= +

+ 2- Ю-6).

В этом примере основание системы р=10, 9=3.

Число q может быть положительным, равным нулю и отрицательным.

Если показатель q в машине остается постоянным для всех чисел, с которыми оперирует машина, то такая машина называется машиной с фиксированной запятой. Если показатель q - переменный, то такая машина называется машиной с плавающей запятой.

В машинах с фиксированной запятой чаще всего выбирают <7=0, так как при q> >0 усложняется программирование. При г7<0 происходит потеря значащих цифр при выбранном числе разрядов

При 9=0 получаем число в форме (24-64). Если при этом п=-1, то целая часть числа отсутствует и все числа укладываются в диапазоне 0х<1.

Изображение знаков чисел. Числа, с которыми оперирует цифровая машина, могут быть как положительными, так и отрицательными. Для изображения знаков удобно пользоваться цифрами двоичной системы счисления 0 -и 1. Можно изображать плюс нулем, а минус - единицей или наоборот. В дальнейшем изложении будем полагать, что первый разряд числа служит для изображения знака и знак плюс изображается 0, а знак минус - 1.

Такое изображение знаков удобно при определении знака произведения или частного, который получается в результате сложения по модулю 2 знаковых разрядов чисел, участвующих в операциях. Сложение