Для передаточной функции разомкнутой системы, записанной в форме

W pv(l+d1p + -tdnpm)

коэффициенты ошибок в соответствии с формулами (21-30*) и (21-30) выражаются следующими соотношениями:

для v=0:

1 №-6,)

1+/С

для v= 1:

со = 0; ci=

для v = 2:

(1 + кг

2 №-ft,)

Со = Ci = 0; са = -; с3

и т. д.

Пример. Найти вуСт (г) системы с эстетизмом первого порядка и передаточной, функцией разомкнутой системы

P(TlP+ l)(Tsp + 1) при входном воздействии

®вх (0=ввхо + вх t +

Передаточная функция по ошибке 1

Фе (Р) =

1 + W (р) 7УГ Р + (Г1 + Г )Р + Р УхГгР3 + (Ti + Г2) + р + К0

Почленным делением полиномов числителя и знаменателя находим:

Р3+-

Отсюда в соответствии с формулой (21-30*) получаем: ,

с0 = 0; с--;

Таким образом, учитывая, что 0Вх=г>вх+ +овхг. 0вх=свх; 0ВХ=О, получаем:

уст-

> -- (овх + йвх 0 + Ли

Ошибка будет нарастать во времени. Она будет тем меньше, чем больше Kv Отсюда видно, что коэффициент передачи Kv оказывает решающее влияние на величину установившейся ошибки системы.

Переходные (неустановившиеся) режимы

Переходные режимы принято оценивать по виду переходной характеристики h{t). Для систем, описываемых передаточными функциями инерционного звена и звена второго порядка, пользуются стандартными графиками (рис. 21-18 и 21-27).

Пример. Построить переходную характеристику для системы АПЧ с двухзвенным фильтром.

Замкнутая система описывается передаточной функцией

ф (р) =-%2-.

w TV + 2&rp+l

где Л э, T, t, выражаются через параметры системы (см. стр. 47). По известной величине £ выбирается кривая из стандартного графика на рис. 21-27, которая затем перестраивается в натуральном масштабе времени.

Для более сложных систем переходный процесс определяется приближенными методами (в частности методом трапецеидальных характеристик, разработанным В. В. Со-лодовниковым). Последний основан на интегральном соотношении, связывающем переходную характеристику h (t) с вещественной частотной характеристикой Р(со) замкнутой системы:

h(f) = - I -- sin cor dco. (21-31) я J to о

На основе связи h (г) и Р(со), выражаемой равенством (21-31), можно сформулировать следующие положения:

1. При изменении величины Р(со) в некоторое количество раз h (г) изменяется во столько же раз.

2. При увеличении (уменьшении) масштаба частот характеристики Р(со) в некоторое количество раз во столько же раз уменьшается (увеличивается) масштаб времени переходной характеристики Л (г). Отсюда следует: чем шире полоса частот, в пределах которой Р(со) имеет существенную величину, тем быстрее протекают переходные процессы.

3. При заданной функции Р(со) переходная характеристика может быть получена путем разбиения Р(со) на отдельные слагаемые Pi (со), Рг(со) и т. д. и суммирование переходных характеристик, найденных для каждого из этих слагаемых.

астатической системы Р(0) = 1; для стати-К

ческой Р(0) = -

К + 1

Свойства, приведенные в пп. 3, 4 и 5, позволяют заменить частотную характеристику Р(ш) близкой по форме, но более простой, например состоящей из прямолинейных отрезков, и разбить затем полученную фигуру на сумму еще более простых.

При использовании метода трапецеидальных характеристик исходную кривую Р(ш) заменяют отдельными трапециями так, чтобы в сумме получилась фигура, близкая к исходной.

Для частотной характеристики Р(ш), имеющей вид трапеции с определенным наклоном стороны >г=со<г/со0 и соо=1 сек (рис. 21-55) при Р(0) = 1, составлены таблицы стандартных переходных функций (йо-функ-ций), соответствующих элементарным трапециям с различными параметрами у. (табл. 21-3). Таблица построена, в зависимости от т=шо путем вычисления интеграла в формуле (21-31). Для каждой из полученных при аппроксимации характеристики Р(со) трапеций необходимо сделать пересчет масштабов:

по оси ординат в Р(ш) раз, по оси времени растянуть (при со0<1) или сжать (при со0>1) в число, равное величине соо.

Таблица 21-3 Таблица /г0-функций

4. Участок вещественной частотной характеристики для частот, начиная с которых Р(ш)/Р(0)<0,1, можно отбросито (т.е. считать для этих частот Р(со)~0).

Wg-t

Рис. 21-55. Стандартная характеристика Р&>), для которой составлены таблицы fto-функций.

5. Близким вещественным частотным характеристикам соответствуют близкие переходные характеристики. Это свойство может быть облечено в более строгую математическую форму, устанавливающую количественные соотношения между приближениями для частотных и временных характеристик.

6. Величина Р(0) равна пределу, к которому стремится переходная характеристика при f- -oo. Это говорит о том, что для

320 -300 -280 -200 -240 -220 -200 -180 -160-ПО -120 -100 - 80 -60 -ЧШ

Рис. 21-56. Номограмма для пересчета ЛАХ и ЛФХ L(ra)(p° (га) разомкнутой системы в вещественную частотную характеристику Р(и>) замкнутой системы (точки А (5) и А (40) соответствуют частотам

<й=5 1/сек и <о =40 1/сек].

Действительное время t и табличное время т таблицы Ло-функций связаны соотношением г=т/шо.

Проделав указанную операцию для каждой из трапеций и суммируя полученные кривые, находим результирующую переходную характеристику, соответствующую исходной частотной характеристике P(to). Вещественная частотная характеристика Р(ш) замкнутой системы находится по логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам разомкнутой системы путем использования специальной номограммы (рис. 21-56). Методика построения /г(г) рассматривается на примере.

Пример. Автоматический пеленгатор при наличии фильтра (стр. 47).

Передаточная функция разомкнутой системы

р(Гдвр+1)(7> + 1)

Примем Л%, = 15 1/сек; Гдв = 0,02 ее/с; Т - постоянная времени фильтра, равная 0,01 сек. Тогда

р (0,002р + 1) (0,01р + 1) При этом частоты сопряжений равны:

со,= ~~- = 50 1/сек;

со2=-=100 1/сек. 2 т

Построение переходной характеристики состоит из следующих этапов:

1. Построение ЛАХ и ЛФХ разомкнутой системы по заданной передаточной функции W(p) (рис. 21-57). Для построе-