сования

8(0 = x(t)

величин ху и ©п

-УМ = Ху + хп-у

наличием составляющей, обусловленной действием помехи на входе,

©вое = ©-Хп.

Оба выражения совпадают (т.е. ©ВОс = =©), если на входе есть только управляющее воздействие: х=ху (т. е. хп=0).

Для общего случая, когда х=Ху+хп, в соответствии с формулой (21-19) для 0 имеем.

:[©п! +

l+W 1+W

+W2 W3 Wn ©п2+ - + Wn ©п + ©п. вых]

Учитывая формулу (21-36), находим выражение для ошибки воспроизведения

©вог -

Wxn+wenl +

l + W l+W

+ w2w3..-wn@m +

-r---+Wn lWneBn l +

+ п©п + © .вых]. (21-37)

Ошибка воспроизведения имеет составляющие, обусловленные управляющим воздействием Ху и помехами хп, ©ш, ©пг. -.

©пи, ©п.вых. Составляющая ху, обусловленная управляющим воздействием, называется динамической ошибкой системы.

При вычислении статистических характеристик ошибки воспроизнедения ограничимся случаем, когда на систему действует единственное возмущение ©п(0 между звеньями W{ и W2 (рис. 21-66,6). Тогда из выражения (21-37) сразу находим:

©ног. -

1 + W

1 +w

w9,

© :

l + W

(21-38)

0Q =\-Ф =

передаточная

1 + W

функция по ошибке (см. стр. 43), a W2- передаточная функция звена между точкой приложения возмущения ©п и выходом системы. Так, если возмущение ©п приложено ко входу (®а=хп) или к первому звену (Gn = ©ni), то W2-W; если помеха ©л приложена К ВЫХОДУ (0п = ©п.вых), ТО W2=l.

Уравнению (21-38) отвечает структурная схема на рис. 21-66. е, показывающая, что ошибка воспроизведения получается сум-

W2

мированием сигналов Фв % и - тк/ д образующихся в результате прохождения

соответственно через W2

Если сигна-

фильтры Фе и Ф=

лы Ху и ©п описываются стационарными статистически независимыми случайными функциями, то спектральная плотность ошибки воспроизведения (см. т. 1, стр. 90)

5вос(Ш) = 1Фв(/Ш)25у (<*> + + Ф (;to)PSn(co).

Здесь (и всюду далее) Sy (со) и Sn (со) - энергетические спектральные плотности управляющего воздействия и помехи соответственно. Если возмущение ©п приложено ко нходу первого звена системы (т. е. @п=х и на входе действует сигнал х= =Ху + Хи), то ФОсо) =Ф(/со) и

SBoc(a)) = l0©(/<B)2Sy(<O) + + Ф(/со)Р5п(со).

Таким образом, спектральная плотность динамической ошибки определяется прохождением управляющего воздействия через

Рис. 21-67. Амплитудно-ча--стотиые характеристики для замкнутой системы Ф(/< >) и для ошибки 11 - Ф( /< >).

фильтр с амплитудно-частотной характеристикой Фе = 1-Ф(/со) в то время как спектральная плотность ошибки обусловлена действием помехи, проходящей через фильтр с амплитудно-частотной характеристикой замкнутой системы Ф(/со) (рис. 21-67).

Если случайные функции статистически зависимы, в выражение для спектральной плотности ошибки воспроизведения входят взаимные спектральные плотности ©вх

и ©п.

Наиболее часто встречающиеся выражения лая основных соотношений эргоди-ческих процессон в автоматических систе-ах приведены в табл. 21-5.

Для нахождения дисперсии ошибки воспроизведения учтем, что дисперсия связана со спектральной плотностью соотношением (т. 1, стр. 87 и строка 2 таблицы):

2л J

S (со) tfco.

Продолжение табл.

Поэтому дисперсия ошибки воспроизведения

°вос = 7£ j Sy (со) rfco +

либо как

(/C0)2Sn(C0)dC0 =

= °дии+<4 (21-39)

т. е. общая дисперсия складывается из дисперсии динамической составляющей ошибки ОдИН, обусловленной случайным управляющим воздействием, и дисперсии помехо-ной составляющей ошибки о , обусловленной действием нозмущения.

Учет других статистически независимых возмущений снодится к добанлению в формулу (21-39) составляющих, аналогичных оп. При анализе дейстния помех удобно пользоваться понятием эквивалентной (энергетической) шумовой полосы, которая определяется либо как

2п J

Ф (/со)2 dco

Ф*(0)

Ф(/со)рЖо

Ф2(0)

Ясно, что

(AFs0 определена лишь для положительных частот).

Формула для Д/э учитывает положительные и отрицательные частоты и используется обычно при теоретическом анализе; формула для AFbg - только положительные частоты и используется чаще всего при экспериментальных исследованиях.

Эквивалентная полоса равна ширине прямоугольника с высотой Ф2(0) и площадью, равной площади, расположенной под кривой JФ(/со) 2 (рис. 21-68). Напомним, что Ф(0)=к для астатических и К

ф(0)=-- для статических систем.

1 + К

Во многих случаях практики спектр помехи оказывается весьма широким по сравнению с эквивалентной полосой системы, т. е. Sn(co) в пределах характеристики Ф(/со)г меняется незначительно, и без большой ошибки S(co) можно принять равной значению при со=0. Тогда выражение для дисперсии ошибки, обусловленной действием помех, сильно упрощается:

Рнс. 21-68. Графики, иллюстрирующие понятие эквивалентная полоса системы .

а - для частот со<ео<оо; б-для положительных частот

~Sn(0)T J Ф(/со)Мсо =

= Sn(0)AF9 (21-40)

(здесь принято Ф(0) = 1), т.е. система считается астатической; для статической системы правую часть равенства нужно умножить на [К/К+ + 1]2).

То же выражение можно записать иначе: